264. Ugly Number II

本文探讨了一种高效算法来找出第N个丑数。丑数是指那些仅包含质因数2、3和5的正整数。文章通过转换视角简化问题,并详细解释了如何维护三个指针来迭代生成丑数序列。

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Write a program to find the n-th ugly number.

Ugly numbers are positive numbers whose prime factors only include 2, 3, 5. For example, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 is the sequence of the first 10 ugly numbers.

Note that 1 is typically treated as an ugly number, and n does not exceed 1690.

s思路:
1. 丑数相互间是有关系的,一个丑数乘以2,3,5仍是丑数,所以,尝试从1开始,1*2,1*3,1*5都是丑数,但是在3和5之间还有一个丑数:2*2,也就是说直接这么乘的话,丑数顺序是不能保证的。现在的问题,如何保证顺序呢?
2. 看了答案,确实很妙!讨论一下如何想到的?首先,当前的丑数是前面的丑数乘以2,3,5后得到的,这个很容易想到。问题是,如何找到谁和2乘,谁和3乘,谁和5乘。例如:1,2,3,4下一个丑数应该是多少呢?由于1已经乘过2和3了,所以1还可以乘以5;2已经乘过2,还可以乘3,5;3还没乘过谁,所以下一个就是比较:1*5,2*3,3*2的大小;那么1,2,3,4,5下一个丑数呢?由于1已经乘以2,3,5,所以就没1的什么事情了,2还可以乘3、5,3还可以乘2、3、5,4还可以乘2\3\5,也就是说越往后我们发现要看的数就很多,有点束手无策。怎么办?
3. 想起之前讨论的发现问题很复杂的时候,不是问题自身复杂,是自己看问题的角度没摆好,尝试换角度看问题,所谓立场决定眼界嘛。怎么换角度?首先明白这个过程涉及哪些对象?有已经得到的丑数,还有2\3\5三个丑数因子,一共就两个对象。再明确我们现在看问题的角度是每个丑数乘到2\3\5的哪一个了,换角度就是以2\3\5为考虑对象,考虑2现在乘到哪个丑数了,3现在乘到哪个位置了,还有5乘到哪个位置了?这么看问题,问题一下就简化了,因为研究对象就只有3个了,而不是之前的丑数越来越多,越力不从心!如何找相反问题,确实需要多加练习!
4. 这个转换角度看问题的方式,让我联想到傅里叶变换了,从时域讨论问题复杂,那就从频域来,就是换了一个角度,问题还是一个问题,但是换了一个角度讨论,立即马上看出简洁的一面。
5. 总结一下:现在我们假设和2乘,和3乘,和5乘的丑数起始坐标idx2,idx3,idx5都是0,或起始数都是1,然后比较的时候,就选max(num[idx2]*2,num[idx3]*3,num[idx5]*5),被选中的就让对应的idx往后移.
6. 讨论一下问题的规模,看到题,由于只有3个因子,也就是状态是有限个,一般也就需要3个变量就可以完全驾驭,问题就是找三个变量来表示。先对问题的规模认识后,做起来就不会一味想做到用一个变量来驾驭。现在很多题想半天没结果,都是潜意识没认识到问题的具体规模,而是要么认为很复杂,要很多变量,要么不知道多少个变量时就默认是一个变量搞得顶的,所以,拿到题还是应该首先明确问题的边界,这道题3个因子,就是边界,很明显的边界。所以最多三个变量就可以记录分别和2,3,5乘的数的位置,这样相当于维护了3个1维的dp向量。有趣!

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        //
        int idx2=0,idx3=0,idx5=0;
        vector<int> res(n,1);
        for(int i=1;i<n;i++){
            res[i]=min(2*res[idx2],min(3*res[idx3],5*res[idx5]));
            if(res[i]==2*res[idx2]) idx2++;
            if(res[i]==3*res[idx3]) idx3++;
            if(res[i]==5*res[idx5]) idx5++;
        }
        return res[n-1];
    }
};
在Python中实现寻找丑数的函数,可以利用动态规划的思想。丑数的定义是只包含质因子23和5的正整数,且通常1被认为是第一个丑数。根据题目的思路,每一个新的丑数都是由之前的某个丑数乘以23或5得到的。因此,我们可以维护三个指针,分别对应乘以2、乘以3和乘以5的情况,每次迭代选出这三个数中的最小值作为下一个丑数,同时更新指针。以下是具体的实现步骤和代码: 参考资源链接:[剑指Offer:丑数(Python)](https://wenku.csdn.net/doc/64530762fcc539136803da9f?spm=1055.2569.3001.10343) 1. 初始化一个数组用于存储丑数,首先存入第一个丑数1。 2. 初始化三个指针i2、i3、i5,分别表示当前乘以2、乘以3、乘以5的丑数在数组中的位置,初始值为0。 3. 初始化变量nextUglyNumber为第一个丑数1。 4. 对于第n个丑数,从nextUglyNumber开始,进行以下步骤直到找到第n个丑数: a. 计算出数组中乘以2、乘以3、乘以5后的候选丑数。 b. 从这三个候选丑数中选出最小的一个,作为下一个丑数。 c. 更新对应的指针i2、i3、i5,使其指向选出的丑数在数组中的位置。 d. 更新变量nextUglyNumber为选出的最小丑数。 5. 返回第n个丑数。 下面是根据上述步骤实现的Python函数: ```python def nthUglyNumber(n): if n <= 0: return 0 ugly_numbers = [1] i2 = i3 = i5 = 0 next_ugly = 1 for _ in range(1, n): next_ugly = min(ugly_numbers[i2] * 2, ugly_numbers[i3] * 3, ugly_numbers[i5] * 5) ugly_numbers.append(next_ugly) if next_ugly == ugly_numbers[i2] * 2: i2 += 1 if next_ugly == ugly_numbers[i3] * 3: i3 += 1 if next_ugly == ugly_numbers[i5] * 5: i5 += 1 return ugly_numbers[-1] ``` 以上代码定义了一个函数nthUglyNumber,通过动态规划的方式计算第n个丑数。该实现方式简洁高效,能够直接解决问题。 结合问题及辅助资料,建议在阅读《剑指Offer:丑数(Python)》一书时,特别关注其中关于动态规划和问题解决策略的讲解。书中的题目和解答将帮助你更深入地理解丑数问题,并掌握如何使用动态规划解决此类问题。当理解了动态规划的基础概念后,你可以尝试解决更复杂的编程挑战,进一步提升你的编程能力。 参考资源链接:[剑指Offer:丑数(Python)](https://wenku.csdn.net/doc/64530762fcc539136803da9f?spm=1055.2569.3001.10343)
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