SGI-STL学习笔记之RB-tree part1

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本文介绍了二叉搜索树的基本概念及其应用，包括查找、插入和删除操作，并详细探讨了平衡二叉搜索树（AVL树和红黑树）的平衡条件与调整方法。

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二叉搜索树

二叉搜索树 (binary search tree) ，可提供对数时间 (10garithmictime)3 的元素插入和访问。二叉搜索树的节点放置规则是：任何节点的键值一定大干其左子树中的每一个节点的键值，并小于其右子树中的每一个节点的键值。因此，从根节点一直往左走，直至无左路可走，即得最小元素：从根节点一直往右走，直至无右路可走，即得最大元素。

查找

图 5-4 所示的就是一棵二叉搜索树。要在一棵二叉搜索树中找出最大元素或最小元素，是一件极简单的事：就像上述所言，一直往左走或一直往右走即是。

插入

插人新元素时，可从根节点开始，遇键值较大者就向左，遇键值较小者就向右，一直到尾端，即为插人点。

删除

欲删除旧节点 A ，情况可分两种。如果 A 只有一个子节点，我们就直接将 A 的子节点连至 A 的父节点，并将 A 删除。如果 A 有两个子节点，我们就以右子树内的最小节点取代 A 。注意，右子树的最小节点极易获得：从右子节点开始 ( 视为右子树的根节点 ) ，一直向左走至底即是。

平衡二叉搜索树

所谓树形平衡与否，并没有一个绝对的测量标准。“平衡”的大致意义是：没有任何一个节点过深 ( 深度过大 ) 。不同的平衡条件，造就出不同酌效率表现，以及不同的实现复杂度。 （每一种平衡树都有不同于其他平衡树的平衡条件，但是所有的平衡树都满足二叉搜索树的条件）。

AVL tree(Adelson-Velskii-Landistree)

AVL tree 是一个“加上了额外平衡条件”的二叉搜索树。其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O（logN）。直观上的最佳平衡条件是每个节点的左右子树有着相同的高度，但这未免太过严苛。 AVL tree 于是退而求其次，其平衡条件为：任何节点的左右子树高度相差最多 1 。这是一个较弱的条件，但仍能够保证“对数深度 (logarithmic depth) ”平衡状态。

由于只有“插入点至根节点”路径上的各节点可能改变平衡状态，因此，只要调整其中最深的那个节点，便可使整棵树重新获得平

假设该最深节点为 X ，由于节点最多拥有两个子节点，而所谓“平衡被破坏”意味着 X 的左右两棵子树的高度相差 2 ，因此我们可以轻易将情况分为四种：

1 ．插人点位于 X 的左子节点的左子树——左左。

2 ．插入点位于 X 的左子节点的右子树——左右。

3 ．插入点位于 X 的右子节点的左子树——右左。

4 ．插入点位于 X 的右子节点的右子树——右右。

情况 1 ， 4 彼此对称，称为外侧 (outside) 插入，可以采用单旋转操作 (singlerotation) 调整解决。情况 2 ， 3 彼此对称，称为内侧 (inside) 插入，可以采用双旋转操作 (doublerotation) 调整解决。

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RB tree( 红黑树 )

RB — tree 不仅是一个二叉搜索树，而且必须满足以下规则 ( 即平衡条件 ) ：

1．每个节点不是红色就是黑色

2 ．根节点为黑色。

3 ．如果节点为红，其子节点必须为黑。

4 ．任一节点至 NULL( 树尾端 ) 的任何路径，所含之黑节点数必须相同。

根据规则 4 ，新增节点必须为红：根据规则 3 ，新增节点之父节点必须为黑。当新节点根据二叉搜索树的规则到达其插入点，却未能符合上述条件时，就必须调整颜色并旋转树形。

假设新节点为 X ，其父节点为 P ，祖父节点为 G ，伯父节点 ( 父节点之兄弟节点 ) 为 S ，曾祖父节点为 GG 。现在，根据二叉搜索树的规则，新节点 X 必为叶节点。根据红黑树规则 4 ， X 必为红。所以，所有需要调整树形（或者颜色）的情况中， P 必定为红 ( 如此违反了规则 3 ，才会调整树形 ) 。根据规则 3 可知父子节点不能同时为红，所以 G 必为黑 ( 因为未插入新节点 X 之前该树为 RB — tree ，必须遵循规则 3) 。需要调整树形的情况仅仅与 X 的插入位置及外围节点 (S 和 GG) 的颜色有关 ( 由，前面可知 X,P,G 的颜色已经推定 ) ，故有以下四种考虑：

状况 1: S 为黑且 X 为外侧插入。对此情况，我们先对 P,G 做一次单旋转再更改 P,G 颜色，即可重新满足红黑树的规则 3 。如图：

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注意，此时可能产生不乎衡状态 ( 高度相差 l 以上 ) 。例如图中的 A 和 B 为 null ， D 或 E 不为 null 。这倒没关系，因为 RB — tree 的平衡性本来就比 AVL — tree 弱。然而 RB — tree 通常能够导致良好的平衡状态：是的，经验告诉我们， RB — tree 的搜寻平均效率和 AVL — tree 几乎相等。

状况 2 ： S 为黑且 X 为内侧插入。对此情况，我们必须先对 P ， X 做一次单旋转并更改 G ， x 颜色，再将结果对 G 做一次单旋转，即可再次满足红黑树规则 3 。

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《 STL 源码剖析》原文中的状况 3,4

状况 3 ： S 为红且 X 为外侧插入。对此情况，先对 P 和 G 做一次单旋转，并改变 X 的颜色：此时如果 GG 为黑，一切搞定。如下图，但如果 GG 为红，则问题就比较大些，见状况 4 ．

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状况 4 ： S 为红且 X 为外侧插入。对此情况，先对 P 和 G 做一次单旋转，并改变 X 的颜色、此时如果 GG 亦为红，还得持续往上做，直到不再有父子连续为红的情况。

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备注：状况 3 和 4 为 STL 源码剖析原文中给出的情况。观察源码便知，此处与源码不符。参考《勘误 <STL 源码剖析 > 》，作者做出的解释十分牵强，并不具有任何说服力。《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《