辛星Java动态规划教程第四篇:最长递增子序列(LIS)，时间复杂度O(n^2)

相对于最长公共子序列和最长公共子串来说，最长递增子序列的解法就要多一些了。

对于序列A来说，求它的递增子序列，比较简单的实现有很多种，我们本节介绍两种:

第一种解法就是对这个序列做一次排序，变成一个递增序列B，这样求A和B的公共子序列就等价于求A的递增子序列。

第二种解法就是使用动态规划的思路，这种思路也很多，可以维护一个长度为N的数组，这里的N的长度就是序列A的长度，它的每一项表示的是比序列A的元素小的可以组成的最大子序列的个数。这样当遇到比较大的数据的时候，可以直接复用数据较小的数据的结果。

第一种解法有些啰嗦，而且排序和最长公共子序列都介绍过了，相信读者朋友们可以自行实现。

第二种解法，其实就是对于每引入一个新的数据，就求一次比它小的数据的列表。
对于第二种解法，需要注意的是，第一个元素我们保存的是0还是1，如果我们保存的是0的话，那么最长递增子序列的长度要在所得的结果上加1，不要忘记这一点。
也有些人会在初始计算的时候就直接把所有数据都初始为1.

思路很简单，来看一下代码吧:

package com.mengzhidu.teach.algorithm.dp.demo.line;

/**
 * 最大递增子序列
 * 空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n^2)
 */
public class LisDemo1 {

    public static void main(String[] args) {
        int[] num = {1, 20, 30, 2, 3, 4, 80, 3, 90};
        lis(num);
    }

    private static void lis(int[] num) {
        if (num == null) {
            return;
        }

        int[] arr = new int[num.length];
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < num.length; i ++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (num[i] > num[j] && arr[i] < arr[j] + 1) {
                    arr[i] = arr[j] + 1;
                    max = arr[i] > max ? arr[i] : max;
                }
            }
        }

        System.out.println("最长递增子序列的长度为:" + (max + 1));
    }
}