E. Prefix Enlightenment,Codeforces Round #616 (Div. 2),拆点并查集

E. Prefix Enlightenment

http://codeforces.com/contest/1291/problem/E
题意：有一个01字符串s，长度为n，有k个集合 $A_1,A_2,...A_k$ ，他们都是{ $1,2,...,n$ }的子集，选取集合 $A_i$ 能将字符串s中对应下标的字符反转（1 - 0，0 - 1，如s = “1001”, $A_1=$ {1,3}，选取$A_1$能使得s变为"0011"），现问对于所有$i\in [1,n]$，最少应该选取多少个集合使得字符串s的前缀1 ~ i都变为为1

思路：首先题意保证每个位置被一或两个集合覆盖（如果某个位置为1可能没有集合覆盖），将集合$A_i$拆为两个点$x_{i,1},x_{i,0}$分别表示这个集合选或不选，val[$x_{i,0}$] = 0，val[$x_{i,1}$] = 1

现考虑下标i有两个集合$A_a,A_b$覆盖的情况，如果s[i] = 0，则a,b两个集合有且仅有一个被选取，即要么选择$x_{a,1}和x_{b,0}$，要么选择$x_{a,0}和x_{b,1}$，可以将$x_{a,1}和x_{b,0}$合并，同样$x_{a,0}和x_{b,1}$合并，因为下标i之前还有很多约束让某些点必须同时选择，所以实际上是将两个点所在集合合并，合并后得到两个新的集合，选取其中val较小的即可，s[i] = 1时便是a,b两个集合要么同时选择，要么都不选，操作同

如果下标i处只有一个集合a覆盖，如果s[i] = 0，则表示a必选，那么可以新建一个点B，val为无穷大，将$x_{a,0}$连到B上面可以保证集合a必选，s[i] = 1类似

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 300005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,k,pre[MAXN*2];
char s[MAXN];
inline int find(int x)
{
	return x == pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]);
}
int val[MAXN*2],tmp,m;
vector<int> ve[MAXN];
int ans;
inline int getmin(int x)
{
	return min(val[find(x)],val[find(x+k)]);
}
inline void merge(int x,int y)
{
	int xx = find(x),yy = find(y);
	if(xx != yy)
	{
		pre[xx] = yy;
		val[yy] += val[xx];
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%s",&n,&k,s+1);
	for(int i = 1;i <= k;++i)
	{
		scanf("%d",&m);
		while(m--)
		{
			scanf("%d",&tmp);
			ve[tmp].push_back(i);
		}
	}
	for(int i = 1;i <= k;++i)
	{
		pre[i] = i,val[i] = 1;
		pre[i+k] = i+k,val[i+k] = 0;
	}
	pre[2*k+1] = 2*k+1,val[2*k+1] = INF;
	ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	{
		if(s[i] == '0')
		{
			if(ve[i].size() == 1)
			{
				int id = ve[i][0];
				ans -= getmin(id);
				merge(id+k,2*k+1);
				ans += getmin(id);
			}
			else
			{
				int id1 = ve[i][0],id2 = ve[i][1];
				if(find(id1) != find(id2+k))
				{
					ans -= getmin(id1)+getmin(id2);
					merge(id1,id2+k),merge(id1+k,id2);
					ans += getmin(id1);
				}
			}
		}
		else
		{
			if(ve[i].size() == 1)
			{
				int id = ve[i][0];
				ans -= getmin(id);
				merge(id,2*k+1);
				ans += getmin(id);
			}
			else if(ve[i].size() == 2)
			{
				int id1 = ve[i][0],id2 = ve[i][1];
				if(find(id1) != find(id2))
				{
					ans -= getmin(id1)+getmin(id2);
					merge(id1,id2),merge(id1+k,id2+k);
					ans += getmin(id1);
				}
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}