CodeForces 1141C 前缀和规律

博客围绕一道算法题展开,给出n - 1个数组成的序列q,qi = p(i + 1) - pi,序列p是n的全排列。需判断能否通过序列q还原出满足题意的序列p,若能则输出p,否则输出 - 1。还介绍了计算前缀和等解题思路。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

http://codeforces.com/problemset/problem/1141/C

An array of integers p1,p2,…,pnp1,p2,…,pn is called a permutation if it contains each number from 11 to nn exactly once. For example, the following arrays are permutations: [3,1,2][3,1,2] , [1][1] , [1,2,3,4,5][1,2,3,4,5] and [4,3,1,2][4,3,1,2] . The following arrays are not permutations: [2][2] , [1,1][1,1] , [2,3,4][2,3,4] .

Polycarp invented a really cool permutation p1,p2,…,pnp1,p2,…,pn of length nn . It is very disappointing, but he forgot this permutation. He only remembers the array q1,q2,…,qn−1q1,q2,…,qn−1 of length n−1n−1 , where qi=pi+1−piqi=pi+1−pi .

Given nn and q=q1,q2,…,qn−1q=q1,q2,…,qn−1 , help Polycarp restore the invented permutation.

Input

The first line contains the integer nn (2≤n≤2⋅1052≤n≤2⋅105 ) — the length of the permutation to restore. The second line contains n−1n−1 integers q1,q2,…,qn−1q1,q2,…,qn−1 (−n<qi<n−n<qi<n ).

Output

Print the integer -1 if there is no such permutation of length nn which corresponds to the given array qq . Otherwise, if it exists, print p1,p2,…,pnp1,p2,…,pn . Print any such permutation if there are many of them.

Examples

Input

3
-2 1

Output

3 1 2 

Input

5
1 1 1 1

Output

1 2 3 4 5 

Input

4
-1 2 2

Output

-1

题目大意: 给出n-1个数:q1、q2……q(n-1), 且qi=p(i+1)-pi,, 序列p有n个数, 是n的全排列,问你能否通过序列q还原出满足题意的序列p, 若能输出序列p, 否则输出-1。

思路: 一道水题居然卡了半天……以后智商不在线不打CodeForces了orz。已知:p1=q2-q1、p2=q3-q2……我们计算序列p的前缀和, 那么sum[1]=p2-p1,sum[2]=p3-p1……sum[n-1]=pn-p1, 又序列p是n的全排列, 因此若能还原出满足题意的序列p,则sum[1]到sum[n-1]必定均不相同,那么若存在sum[i]==0||sum[i]>=n||sum[i]<=-n的情况,必定是不满足题意的。 在计算sum数组的同时我们用MIN记录sum[i]的最小值, 若MIN<0,则我们对sum数组做平移操作, 即sum[i]-=MIN,然后遍历sum数组同时做标记, 若[0,n-1]的某个数被标记了两次, 那么这也是不满足题意的情况, 否则p1就等于[0, n-1]中未被标记的那个数+1。(这个规律还是很好找的 自己试一下就知道了 注意要用long long)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll a[200005];
ll sum[200005];
int vis[200005];
ll t=0;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int flag=0;
    ll MIN=0;
    ll temp;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%lld",&temp);
        sum[i]=sum[i-1]+temp;
        a[i]=sum[i];
        if(a[i]==0||a[i]>=n||a[i]<=-n)
            flag=1;
        MIN=min(MIN,sum[i]);
    }
    if(MIN<0)
    {
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
            a[i]-=MIN;
    }
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        if(a[i]>=n||vis[a[i]])
            flag=1;
        else
            vis[a[i]]=1;
    }
    if(flag)
        printf("-1\n");
    else
    {
        t=0;
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
            if(!vis[i])
                t=i;
        t+=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==1)
                printf("%lld",t);
            else
                printf(" %lld",t+sum[i-1]);
        }
    }
}

 

### Codeforces 中二维前缀和的应用 在解决涉及矩阵区域查询的问题时,二维前缀和是一种非常有效的工具。通过预先计算部分和,可以在常数时间内快速获取任意子矩形内的元素总和。 #### 什么是二维前缀和? 对于一个大小为 \( m \times n \) 的矩阵 `A`,定义其对应的前缀和矩阵 `sum` 如下: \[ sum[i][j] = A[0...i-1][0...j-1] \] 即 `sum[i][j]` 表示从原点 `(0, 0)` 到位置 `(i-1, j-1)` 所构成的矩形区域内所有元素之和[^2]。 为了方便处理边界情况,通常会将索引偏移一位,在实际编程中使用 `sum[i+1][j+1]` 来表示上述范围内的累加值。 #### 计算方法 构建前缀和的过程可以通过双重循环完成,时间复杂度为 O(mn),其中 m 和 n 分别代表矩阵的高度和宽度。核心代码如下所示: ```cpp for(int i = 1; i <= h; ++i){ for(int j = 1; j <= w; ++j){ // 当前格子加上左边、上面以及左上的三个方向已经累积的结果 sum[i][j] = A[i-1][j-1] + sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]; } } ``` 这里需要注意减去重复计算的部分 `- sum[i-1][j-1]`,因为这部分被前面两次相加操作多算了。 #### 查询指定矩形区域的和 假设要查询以坐标 `(x1,y1)` 作为左上角顶点,`(x2,y2)` 作为右下角顶点所围成的小矩形内部数值总和,则可以按照下面的方式进行计算: \[ query(x_1, y_1, x_2, y_2)=sum[x_2][y_2]-sum[x_1-1][y_2]-sum[x_2][y_1-1]+sum[x_1-1][y_1-1]\] 这同样遵循了容斥原理来排除重叠部分的影响。 #### 实际应用案例 考虑这样一个题目:“在一个整数矩阵中找到满足特定条件的最大/最小面积”。这类问题往往需要频繁地对不同尺寸的子矩形做求和运算,而借助于预处理好的前缀和表就可以大大简化这些操作并提高效率。 例如,在某些情况下可能还需要结合其他数据结构如线段树或者二分查找来进行更复杂的优化;而在另一些场景里则可以直接利用简单的四边形不等式性质加速搜索过程。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值