【HBOI2013】Eden的博弈树

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树形动规

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染色

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本文深入探讨了一种特殊的树结构问题，即黑白染色博弈。通过定义黑方和白方的胜利条件，作者提出了一种动态规划的方法来解决这类问题。详细解释了如何使用f[i,j]矩阵进行状态转移，并提供了求解最小黑方和最小白方胜利集合的交集数量、最小编号和异或值的算法步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

这里写图片描述
对于 30%的数据， n ≤ 100 ；

对于 40%的数据， n ≤ 1,000 ；

对于 50%的数据， n ≤ 10 ,000 ，且树是随机生成的；

对于 100%的数据， 1 ≤ n ≤ 200 ,000 ，且对于节点 i（i ≠ 1），其父节点的编号小于 i。
这里写图片描述

题意

这题的题意比较坑，不容易理解。
其实就是给你一棵树，然后黑白染色。
染完色后，设最少需要染x个黑色点可以使得必胜，那么这k个点便是最小黑方胜集合。
同理可以求出最小白方胜集合。并且这些点有可能有很多种情况
求出所有同是最小黑方胜集合和最小白方胜集合的交集的数目，最小编号，异或值
一个根要求胜的条件是：
若要求黑胜，则
这个点当前是黑色，则只要求它的子树的任意一个点为必胜即可。
这个点当前是白色，则要求它的子树的每一个点都必须是必胜
白色类似

分析

我们可以这样想，用f[i,j]表示当前根为i时要求颜色j胜的最少需要确定的叶子节点的个数
转移明显，若i颜色和j不同，则 $f[i,j]=\sum f[k,j]，k$ 为i的儿子。
若颜色相同，则 $f[i,j]=min(f[k,j])$
叶子的点则是f[k,0]=f[k,1]=1;
然而我们考虑如何去算子集。
其实也很简单，我们也是按照dp这样去做，去选择，
若当前颜色与j颜色不同，则递归每个它的儿子。
若一样，则选最小的去递归，若有相同，则都递归即可。
这样便可以很好解决问题了。

当然，留给读者思考，若是分别求根的黑，白胜的方案，怎么办？

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define maxlongint 2147483647
using namespace std;
const int N=200100;
int nu,n,b[N],las[N],nex[N],x,color[N],f[N][2];
bool bz[N][2];
void insert(int x,int y){
    b[++nu]=y;nex[nu]=las[x];las[x]=nu;
}
void dfs(int x){
    if (!las[x]) f[x][0]=f[x][1]=1;
    for(int p=las[x];p;p=nex[p]){
        color[b[p]]=color[x]^1;
        dfs(b[p]);
    }
}
void dfe(int x,int y){
    if (y==color[x]&&f[x][y]==0) f[x][y]=maxlongint;
    for(int p=las[x];p;p=nex[p]){
        dfe(b[p],y);
        if (y==color[x]) f[x][y]=min(f[x][y],f[b[p]][y]);
        else f[x][y]=f[x][y]+f[b[p]][y];
    }
}
void dfan(int x,int y){
    int pe=maxlongint;
    for(int p=las[x];p;p=nex[p]){
        if (y==color[x]) {
            if (pe>f[b[p]][y])pe=f[b[p]][y];
        }else dfan(b[p],y);
    }
    if (y==color[x]&&las[x]) for(int p=las[x];p;p=nex[p]) 
    if (f[b[p]][y]==pe) dfan(b[p],y);
    if (!las[x]) bz[x][y]=1;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&x);
        insert(x,i);
    }
    color[1]=1;
    dfs(1);
    dfe(1,1);
    dfe(1,0);
    dfan(1,1);
    dfan(1,0);
    int an=0,ans=0,mi=maxlongint;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if (bz[i][1]&&bz[i][0]) {
            an++;mi=min(mi,i);ans=ans^i;
        }
    }
    printf("%d %d %d",mi,an,ans);
}