希尔伯特空间

在处理图像中用到傅里叶变换，在学习傅里叶变换的过程中，先了解下希尔伯特空间的内积，这样便于了解傅里叶变换与级数。

  向量空间：

          设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘法两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。

 范数

          是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。

在给出矩阵的范数：

傅里叶变换在图像中的物理意义：

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像