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一、从猜价格游戏引入二分查找
想象一下,你参加了一档热门的综艺节目,其中有一个有趣的猜价格环节。主持人展示了一款最新款的电子产品,让你猜出它的价格。已知这个价格在 1000 - 5000 元之间,你会怎么猜呢?
有的人可能会从 1001 元开始,一个数字一个数字往上猜,1001、1002、1003…… 但这样的方法效率极低,可能猜了几百次都猜不到正确答案。而聪明的你,可能会先猜中间值 3000 元。如果主持人说 “高了”,那就把范围缩小到 1000 - 2999 元;如果说 “低了”,就把范围缩小到 3001 - 5000 元。然后再在新的范围内取中间值继续猜。这就是一种朴素的二分查找思想。
在计算机领域,二分查找是一种非常高效的查找算法,它就像这个猜价格游戏一样,在一个有序的数据集合中,通过不断将搜索区间缩小一半,快速定位目标元素的位置。
二、二分查找法是什么
二分查找(Binary Search),也叫折半查找 ,是一种在有序数组中高效查找特定元素的算法。它的核心原理基于分治法思想,每次通过将搜索区间缩小一半,快速逼近目标元素。
假设有一个按升序排列的整数数组 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15],我们要查找数字 7。具体步骤如下:
确定初始搜索范围:数组的起始索引 left = 0,结束索引 right = 7(数组长度减 1),此时搜索范围涵盖整个数组。
计算中间位置:通过公式 mid = (left + right) / 2,得到中间位置 mid = (0 + 7) / 2 = 3 ,即数组中索引为 3 的元素,值为 7。
比较中间元素与目标值:发现中间元素 arr[mid] 恰好等于目标值 7,查找成功,返回索引 3。
再举个例子,如果要查找数字 6:
- 初始搜索范围 left = 0,right = 7。
- 计算中间位置 mid = (0 + 7) / 2 = 3,arr[mid] = 7 。
- 因为 7 > 6 ,说明目标值 6 在中间元素的左侧,更新搜索范围,right = mid - 1 = 2 。
- 重新计算中间位置 mid = (0 + 2) / 2 = 1,arr[mid] = 3 。
- 由于 3 < 6 ,目标值在中间元素右侧,更新 left = mid + 1 = 2 。
- 再次计算 mid = (2 + 2) / 2 = 2,arr[mid] = 5 。
- 又因为 5 < 6 ,更新 left = mid + 1 = 3 ,此时 left > right ,搜索范围为空,说明数组中不存在数字 6 ,返回 -1 表示未找到。
通过这两个例子可以清晰地看到,二分查找每次都能将搜索区间缩小一半,大大减少了比较次数,提高了查找效率。
三、二分查找法代码实现
(一)非递归实现
下面是使用 Java 和 Python 实现的二分查找法的非递归代码:
Java 代码
public class BinarySearch {
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
while (left <= right) {
// 计算中间位置
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] == target) {
return mid;
} else if (arr[mid] > target) {
// 目标值在左半部分,更新右指