最大子序列、最长递增子序列、最长公共子串、最长公共子序列、字符串编辑距离总结

一、最大子序列

即找出由数组成的一维数组中和最大的连续子序列。例如{5, -6, 4, 2}的最大子序列是{4, 2}，它们的和是6。

思路：假设数组为num，用dp[i]存储当遍历到num[i]时，num[0]~num[i]之间求得的最大子序列的和。

遍历num，当遍历到num[i]时，转换方程如下：

如果dp[i-1]>0，则dp[i] = dp[i-1] + num[i]，

否则dp[i] = num[i]。

这么去想，站在num[i]的角度来看，如果dp[i-1]>0，说明前i-1个数的最大子序列和大于0，那么num[i]加上一个正数肯定会比num[i]大，因此dp[i] = dp[i-1] + num[i]。如果dp[i-1]<=0，那么num[i]加上一个非正数肯定比num[i] 小或者相等，所以dp[i] = num[i]

c++代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int num[6]={5, -3, -4, 12, 9, -1};
	int len=6;
	int* dp = new int[6];
	int max_len=0;
	if(len>0){
		dp[0] = num[0];
		for(int i=1;i<len;i++){
			if(dp[i-1]>0){
				dp[i] = dp[i-1] + num[i];
			}else{
				dp[i] = num[i];
			}
			if(dp[i]>max_len)
				max_len = dp[i];
		}
	}
	cout<<"最大子序列和为:"<<max_len<<endl;
	return 0;
		
	
}

输出：

最大子序列和为：21

二、最长递增子序列

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4.

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int maxLen(int arr[], int length){
    int* dp = new int[length+1];
    int max = 0;
    for(int i=0;i<length;i++){
        dp[i] = 1;
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(arr[j]<arr[i] && (dp[j]+1)>dp[i]){
                dp[i] = dp[j]+1;
            }
        }//for
        if(dp[i] > max){
            max = dp[i];
        }
    }//for

    return max;
}

int main(){
    int arr[8] = {1, -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7};
    cout<<maxLen(arr, 8);
    return 0;
}

测试用例：

在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，其最长的递增子序列为1，2，4，6