L3-001 凑零钱 (01背包)

解决一个特殊的凑零钱问题,即如何使用有限数量的硬币精确凑出特定金额,且需输出最小序列。采用从大到小排序硬币面值的方法确保找到符合条件的最小硬币组合。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

L3-001 凑零钱 (30 分)

韩梅梅喜欢满宇宙到处逛街。现在她逛到了一家火星店里,发现这家店有个特别的规矩:你可以用任何星球的硬币付钱,但是绝不找零,当然也不能欠债。韩梅梅手边有 10​4​​ 枚来自各个星球的硬币,需要请你帮她盘算一下,是否可能精确凑出要付的款额。

输入格式:

输入第一行给出两个正整数:N(≤10​4​​)是硬币的总个数,M(≤10​2​​)是韩梅梅要付的款额。第二行给出 N 枚硬币的正整数面值。数字间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出硬币的面值 V​1​​≤V​2​​≤⋯≤V​k​​,满足条件 V​1​​+V​2​​+...+V​k​​=M。数字间以 1 个空格分隔,行首尾不得有多余空格。若解不唯一,则输出最小序列。若无解,则输出 No Solution

注:我们说序列{ A[1],A[2],⋯ }比{ B[1],B[2],⋯ }“小”,是指存在 k≥1 使得 A[i]=B[i] 对所有 i<k 成立,并且 A[k]<B[k]。

输入样例 1:

8 9
5 9 8 7 2 3 4 1

输出样例 1:

1 3 5

输入样例 2:

4 8
7 2 4 3

输出样例 2:

No Solution

题意:略

思路:如果不要求输出 最小序列,其实是一个01背包问题,应该都没问题。但题目要求输出最小序列,所以我们的要稍微变换一下。刚开始我是先把n没硬币从小到大排序,然后记录一下得到价值j得时候用的硬币的序号。但是一直不对,当时没有想清楚。后来看别人是从大到小排序的焕然大悟。

          从小到大排序时,当我们遍历到后面的时候,后面价值比较大得硬币就有可能把前面价值小的给遮掩住了。而如果我们从大到小的话,那么小的硬币就会遮住大的硬币,而这刚好符合题目的要求:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long 
const int maxn = 100 * 100 + 10;
int dp[maxn],a[maxn], vis[maxn],m, n,step[maxn][110];
int nextt[100 + 10];

void print(int s) {
	if (nextt[s] == -1)return;
	print(s-a[nextt[s]]);
	printf("%d ",a[nextt[s]]);
}

bool cmp(int a, int b) { return a > b; }

int main() {

	ios::sync_with_stdio(false);
	
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
	sort(a+1,a+1+n,cmp);

	memset(dp,0,sizeof(dp));
	memset(step,0,sizeof(step));
	memset(nextt,-1,sizeof(nextt));
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= a[i]; j--) {
			if (dp[j] <= dp[j - a[i]] + a[i]) {
				dp[j] = dp[j - a[i]] + a[i];
				step[i][j] = 1;
			}
		}
	}

	if (dp[m]==m) {
		while (n) {
			while (step[n][m] == 0)n--;
			if (n > 0) {
				if (m - a[n])
					cout << a[n] << ' ';
				else
					cout << a[n] << endl;
				m -= a[n];
			}
			if (m <= 0)break;
			n--;
		}
	}
	else
		cout << "No Solution" << endl;

	return 0;
}

 

 

 

 

### L3-001 零钱问题的 Python 解决方案 以下是基于动态规划方法实现的一个标准解法,用于解决零钱问题。此算法的核心在于通过构建一个数组 `dp` 来记录达到某个金额所需的最少硬币数量。 #### 动态规划核心逻辑 为了找到最小硬币组合的数量,可以定义状态转移方程如下: 设 `coins` 是可用的硬币面额列表,目标金额为 `amount`,则可以通过以下方式计算最优解: \[ dp[i] = \min(dp[i], dp[i - coin] + 1) \] 其中 \( dp[i] \) 表示组成金额 \( i \) 所需的最少硬币数[^2]。 下面是完整的 Python 实现代码: ```python def min_coins(coins, amount): # 初始化 dp 数组,大小为 amount+1 并填充为无穷大 dp = [float(&#39;inf&#39;)] * (amount + 1) # 当金额为 0 时,所需硬币数为 0 dp[0] = 0 # 遍历每一种可能的目标金额 for i in range(1, amount + 1): for coin in coins: if i >= coin and dp[i - coin] != float(&#39;inf&#39;): dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) return dp[amount] if dp[amount] != float(&#39;inf&#39;) else -1 # 测试用例 if __name__ == "__main__": coins = list(map(int, input().split())) # 输入硬币种类 amount = int(input()) # 输入目标金额 result = min_coins(coins, amount) print(result) ``` 上述代码实现了动态规划的思想来求解最小硬币数目问题。如果无法恰好成指定金额,则返回 `-1` 表明无解。 #### 关键点解析 1. **初始化**:创建长度为 `amount + 1` 的数组并设置初始值为正无穷大 (`float(&#39;inf&#39;)`),表示尚未找到任何有效路径到达这些金额。 2. **边界条件处理**:当金额等于 0 时,不需要任何硬币即可满足需求,因此设定 `dp[0]=0`。 3. **双重循环更新 DP 值**:外层遍历所有可能的目标金额;内层尝试使用当前可选的所有硬币进行匹配,并不断优化已知的最佳结果。 4. **最终判断**:若经过全部迭代后仍未能降低至有限数值,则说明不存在合法解,应输出特殊标记(如这里采用的是 `-1`)。 #### 时间复杂度分析 该算法的时间复杂度主要取决于两重嵌套循环结构——即对于每一个金额都要逐一考察所有的硬币选项。假设共有 m 种不同类型的硬币以及最大金额为 n ,那么整体时间开销大致为 O(m × n)---
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