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最新推荐文章于 2019-10-17 20:36:27 发布

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本文介绍了一种解决特定递推数列问题的方法，利用矩阵快速幂技巧来高效计算大数下的数列值。通过定义特定的矩阵乘法运算，并结合费马小定理，实现了对大数的有效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

然后求fn取p的余之后的答案，n 为10^18次方；

思路：设xn为a的幂：则可以得出xn = c * x(n -1) + x(n - 2) + b;

由费马小定理可以得出，fn %= p, 那么xn %= (mod - 1);

矩阵为: c b 1

1 0 0

0 0 1

#include <iostream>
#include <set>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,p;
struct Matrix
{
	Matrix()
	{
		memset(maze,0,sizeof(maze));
		for(int i  = 0; i < 3; i ++)
		maze[i][i] = 1;
	}
	Matrix(ll c,ll b)
	{
		maze[0][1] = maze[1][0] = maze[2][2] = 1;
		maze[0][0] = c;
		maze[0][2] = b;
		maze[1][1] = maze[1][2] = maze[2][0] = maze[2][1] = 0;
	}
	void show()
	{
		for(int i = 0; i < 3; i ++)
		{
			for(int j = 0; j < 3; j ++)
			{
				cout << maze[i][j] << " ";
			}
			cout << endl;
		}
	}
	ll maze[3][3];
	inline Matrix operator *(const Matrix& b)
	{
		Matrix c;
		for(int i = 0; i < 3; i ++)
		{
			for(int j = 0; j < 3; j ++)
			{
				c.maze[i][j] = 0;
				for(int k = 0; k < 3; k ++)
				{
					c.maze[i][j] += (maze[i][k] * b.maze[k][j]) % (p - 1);
					c.maze[i][j] %= (p - 1);
				}
			}
		}
		return c;
	}
};
ll a,b,c;
Matrix pow(ll len)
{
//	cout << "Pass _ by" << endl;
//	cout << len << endl;
	Matrix ans;
//	ans.show();
	Matrix t(c,b);
	while(len)
	{
		if(len & 1)
		ans = ans * t;
		len >>= 1;
		t = t * t;
	}
	return ans;
}
ll pows(ll x,ll n)
{
	ll ans = 1;
	ll t = x;
	while(n)
	{
		if(n & 1)
		ans = ans * t % p;
		n >>= 1;
		t = (t * t) % p;
	}
	return ans;
}
ll solve()
{
	if(n == 1)
	return 1;
	if(n == 2)
	return pow(a,b);
	Matrix temp = pow(n - 2);
	ll ans = temp.maze[0][0] * b + temp.maze[0][2];
	ans = pows(a,ans);
	return ans;
}
int main()
{
	int Tcase;
	scanf("%d",&Tcase);
	while(Tcase --)
	{
		scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b,&c,&p);
		cout << solve() << endl; 
	}
	return 0;
}