关于n!和n^n的数位以及各个位上的数(stirling公式)

最新推荐文章于 2022-04-20 16:31:23 发布

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分类专栏：其他文章标签： stiring公式

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本文探讨了Stirling公式在求解大数n!与n^n的数位特性中的应用。通过公式变形，可以计算n^n的位数k=[n*lg(n)]+1，并确定最左边的数。对于n!，使用Stirling公式进行近似，得到lg(n!)的表达式，进而计算n!的最左位。题目要求计算n^n的最左边数字，利用对数和向下取整运算可以解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Stirling公式：lim(n→∞) √(2πn)   *  (n/e)^n / n! = 1也就是说当n趋于无穷大的时候,n!与√(2πn)    *  (n/e)^n的值十分接近


推广：求左边第x位只要推公式时将10^(k-1)变为10^(k-x)即可，最后答案取模10。


 n^n的位数：k = [lg(n^n)] + 1 = [n * lg(n)] + 1 最左边的数作个位：x = n^n / 10^(k-1)取对数：lg(x) = n * lg(n) - (k-1) = (n*lg(n) - [n*lg(n)])最左边的数：[x] = [10^lg(x)] = [10^(n*lg(n) - [n*lg(n)])]
"[ ]"代表的是向下取整，可以用floor函数实现
//n!最左位n!的位数：k = [lg(n!)] + 1最左边的数作个位：x = n! / 10^(k-1)取对数：lg(x) = lg(n!) - (k-1) = lg(n!) - [lg(n!)]最左边的数：[x] = [10^lg(x)] = [10^(lg(n!) - [lg(n!)])]n!将会很大，所以要用Stirling公式近似计算Stirling公式：lim(n→∞) √(2πn) * (n/e)^n / n! = 1也就是说当n趋于无穷大的时候,n!与√(2πn) * (n/e)^n的值十分接近所以lg(n!) = lg(√(2πn) * (n/e)^n) = 1/2*(lg(2π) + lg(n)) + n * (lg(n) - lg(e))代入[x] = [10^lg(x)] = [10^(lg(n!) - [lg(n!)])]即可。提示：log10(d) = log(d)/log(10.0)

hdu 1060   leftest digit

题意：求n^n最左边的数
思路：公式


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
typedef long long ll;

int main()
{
    double n;
    int Tcase;
    scanf("%d",&Tcase);
    for(int ii = 1; ii <= Tcase ; ii ++)
    {
        scanf("%lf",&n);
        int ans = floor(pow(10,n*log10(n) - floor(n * log10(n))));
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

poj1423

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 20;
const double PI = acos(-1.0);
const double e = 2.718281828459045;

int main()
{
    int Tcase;
    scanf("%d",&Tcase);
    for(int ii = 1; ii <= Tcase; ii ++)
//    while( ~ scanf("%d",&n))
//    while( ~ scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int n;
        cin >> n;
        cout << (int)(0.5*(log10(2 * PI * n)) + n*log10(n/e) ) + 1<< endl;
    }
    return 0;
}