斐波那契数列-编程求解方法大全

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题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

n<=39

直接上我的代码：

int Fibonacci(int n) {
        int sum =0,l=0,r=1;
        if(n==1)
            return 1;
        else
        {
            for(int i=0;i<n-1;i++)
            {
                sum=l+r;
                l=r;
                r=sum;
            }
        }
        return sum;
    }

 

这个题可以说是迭代（Iteration） VS 递归（Recursion），

f(n) = f(n-1) + f(n-2)，第一眼看就是递归啊，简直完美的递归环境，递归肯定很爽，这样想着关键代码两三行就搞定了，注意这题的n是从0开始的：

1 2	if(n<=1) return n; else return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

然而并没有什么用，测试用例里肯定准备着一个超大的n来让Stack  Overflow，为什么会溢出？因为重复计算，而且重复的情况还很严重，举个小点的例子，n=4，看看程序怎么跑的：

Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);

                    = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1)  + Fibonacci(0);

                    = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1)  + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);

由于我们的代码并没有记录Fibonacci(1)和Fibonacci(0)的结果，对于程序来说它每次递归都是未知的，因此光是n=4时f(1)就重复计算了3次之多。

那么如何求解呢，动态规划似乎不错，关于动态规划三个条件：最优子结构、无后效性、子问题重叠这些就不谈了，因为理(wo)论(ye)性(bu)太(tai)强(dong)了。

下例是一个简单的动态规划，以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费：

虽然看起来很蠢，空间浪费了sizeof(int)*(n-1)，但是对于那个超大n的测试用例应该是可以通过了，时间复杂度也达到了O(n)。

那能不能把“优雅”的递归和动态规划结合起来呢？递归的优点在于便于理解和编码，而重复计算的关键原因在于代码里直接就“递”进去然后等着“归”了，所以避免重复的关键在于对子问题是否已经得出解的判断，即：

对于这种有很小范围内的计算，我们可以更暴力一点的。像下面这样：

public class Solution {

   public static int Fibonacci(int n) {

        int[] ns = {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,

                 10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,

                 2178309,3524578,5702887,9227465,14930352,24157817,39088169,63245986};

         return ns[n];

     }

}

另类解法：

public int Fibonacci(int n) {

     if (n==0) return 0;

     if (n <= 2) {

          return 1;

      }

      if (n == 3)

          return 2;

      int n1 = 1;

      int n2 = 2;

      for (int i = 4; i <= n; i++) {

          n1 ^= n2;

          n2 ^= n1;

          n1 ^= n2;

          n2 += n1;

 

      }

      return n2;

  }

代码量最少的解法：

public class Solution {

    public int Fibonacci(int n) {

        return n<=0 ? 0 :n<=2 ? 1 : Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

    }

}

简单粗暴，拿走不谢！

下面这几个解法最牛逼，汇总了，真是逆天的操作：

// 遍历求解
function Fibonacci(n)
{
    var pre = 0;
    var num = 0;
    while (n > 0) {
        if (num == 0) {
            num = 1;
        } else {
            var tmp = num;
            num += pre;
            pre = tmp;
        }
 
        n--;
    }
 
    return num;
}
 
// 暴力求解
function Fibonacci2(n)
{
    var arr = [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,
    144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,
    10946,17711,28657,46368,75025,
    121393,196418,317811,514229,832040,
    1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,
    14930352,24157817,39088169,63245986];
    return arr[n];
}
 
// 通项公式求解
function Fibonacci3(n)
{
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 1;
 
    var sqrt5 = Math.sqrt(5);
    var result = 1 / sqrt5 * (Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n));
    return Math.round(result);
}