内侧菱形三十面体的顶点坐标计算和点积方法Python实现

xiaogss

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分类专栏：机器学习 python 算法文章标签：算法

于 2018-03-30 14:52:23 首次发布

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NumPy特性

NumPy 是Python中用于科学计算的核心库，它提供了高效的多维数组对象ndarray，以及大量的数学函数来操作这些数组。

内侧菱形三十面体的顶点坐标计算和点积方法

下面用python来实现数学模型，正好最近考虑到了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？笔者在搜索 wikipedia 的过程中，发现了一个有趣的图形：内侧菱形三十面体 (medial rhombic triacontahedron)，如下图所示：

对于构造内侧菱形三十面体，我们先选取二十四个顶点坐标如下：

通过坐标计算可以发现：

根据对称性，当我们选取 V17, V4, V11, V13 四个点的时候，可得其构成与之前全等的菱形。如此，我们可以找到 30 个全等的菱形，为我们所需的三十个面。

python实现伪代码如下：

import numpy as np
# 常量定义
sqrt5 = np.sqrt(5)
C0 = 3 * (sqrt5 - 1) / 8
C1 = 3 * (sqrt5 + 1) / 8

# 顶点坐标生成 (24个顶点)
vertices = [
    (0.75, 0, C1),    # V0
    (0.75, 0, -C1),   # V1
    (-0.75, 0, C1),   # V2
    (-0.75, 0, -C1),  # V3
    (C1, 0.75, 0),    # V4
    (C1, -0.75, 0),   # V5
    (-C1, 0.75, 0),   # V6
    (-C1, -0.75, 0),  # V7
    (0, C1, 0.75),    # V8
    (0, C1, -0.75),   # V9
    (0, -C1, 0.75),   # V10
    (0, -C1, -0.75),  # V11
    (C0, 0, 0.75),    # V12
    (C0, 0, -0.75),   # V13
    (-C0, 0, 0.75),   # V14
    (-C0, 0, -0.75),  # V15
    (0.75, C0, 0),    # V16
    (0.75, -C0, 0),   # V17
    (-0.75, C0, 0),   # V18
    (-0.75, -C0, 0),  # V19
    (0, 0.75, C0),    # V20
    (0, 0.75, -C0),   # V21
    (0, -0.75, C0),   # V22
    (0, -0.75, -C0),  # V23
]

# 验证菱形面 V17, V4, V12, V10
def validate_rhombus():
    v17 = np.array(vertices[17])
    v4 = np.array(vertices[4])
    v12 = np.array(vertices[12])
    v10 = np.array(vertices[10])
    
    # 计算四条边向量
    edge1 = v4 - v17  # V17→V4
    edge2 = v12 - v4  # V4→V12
    edge3 = v10 - v12 # V12→V10
    edge4 = v17 - v10 # V10→V17
    
    # 验证平行性和模长
    print("验证对边平行且等长:")
    print(f"V17V4 与 V12V10 平行: {np.allclose(np.cross(edge1, edge3), [0,0,0])}")
    print(f"模长: {np.linalg.norm(edge1):.4f} (理论值: {3*np.sqrt(3)/4:.4f})")
    print(f"V4V12 与 V10V17 平行: {np.allclose(np.cross(edge2, edge4), [0,0,0])}")
    print(f"模长: {np.linalg.norm(edge2):.4f} (理论值: {3*np.sqrt(3)/4:.4f})")
    
    # 计算角度余弦
    cos_angle1 = np.dot(edge1, edge4) / (np.linalg.norm(edge1) * np.linalg.norm(edge4))
    cos_angle2 = np.dot(edge1, edge2) / (np.linalg.norm(edge1) * np.linalg.norm(edge2))
    print(f"\n验证凹角:")
    print(f"cos(∠V4V17V10) = {cos_angle1:.4f} (理论值: {-sqrt5/3:.4f})")
    print(f"cos(∠V17V4V12) = {cos_angle2:.4f} (理论值: {sqrt5/3:.4f})")

validate_rhombus()

# 定义30个菱形面 (示例定义部分面)
faces = [
    [17, 4, 12, 10],  # 第一个菱形
    [4, 12, 10, 17],  # 对称面
    [16, 5, 13, 11],  # 其他面
    [5, 13, 11, 16],
    [18, 7, 14, 22],
    [7, 14, 22, 18],
    # 可根据对称性补充完整30个面...
]

另外最近看到了 Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子，这其中有些结构十分精巧，可以说如果不特别去构造几乎难以想象。在本文中我们将引用其中一些例子，分享一下这些结构的顶点坐标和平面方程如何计算。一些最常见的例子 (Figure 7 in Branko) 如图所示：

如果要计算这些特定多面体的顶点坐标，我们将引用 APPENDIX 当中的一些记号和术语，并且对于一两个特殊图形作出距离。在每一种情形中，我们都从一个正多面体 P（四面体、八面体或二十面体）出发，其顶点记为 Di，以及其对偶多面体 P ′（四面体、立方体或十二面体），其顶点记为 Ej。于是，根据图中所示的参数 a, b, c，面 F 的五个顶点可以按如下顺序表示：

其中 d 与 e 是 a, b, c 的函数，选定以使这五个 (∗) 当中的点共面。不同情形下的具体表达将在下文给出。显然，对参数做统一缩放对应于相似多面体；因此这些参数可以理解为同类多面体空间中某种给定拓扑类型的“等面体空间”中的齐次坐标。第一类问题是如下的这类多面体，它们看起来很夸张，但是顶点坐标是容易表示的:

我们可以取 P，也就是这些多面体的母体作为具有以下十二个顶点坐标的二十面体：

然后其对偶的十二面体 P ′ 的二十个顶点坐标为：

这里关于 d, e 的计算相当复杂，我们仅给出一个 d 的式子：

第二类问题当中，图形可能更简单，它们都来自于一个正四面体：其中，P 是一个四面体，其

所有顶点为：当中带有偶数个负号的点，表示正四面体 P 的顶点。

而对偶四面体 P ′ 的顶点坐标为：

当中带有奇数个负号的点。

在公式 (∗) 中我们取：

由此即可类似地得到 d 和 e 的计算:

一个特别有趣的图形是如下的 12 面体，其中每个五边形都是一个由正五边形向下 “压缩”后的结果

这个图形是完全被嵌入在立方体（cube）A1A2A3A4 − A5A6A7A8 当中的，实际上如果我们设这个立方体的外面 8 个顶点为：

则其内部的凹陷顶点坐标可以写作：

我们再提出一个有趣的例子：

这个图形的所有顶点位于一个正八面体上 (octahedron), 其 6 个顶点坐标为:

和它的坐标排列，这样它的对偶多面体 P ′ 就可以取为：

在（*）中我们取

import numpy as np


# ================== 通用工具函数 ==================
def normalize(v):
    return v / np.linalg.norm(v)


# ================== 第一类：二十面体衍生结构 ==================
def icosidodecahedron_case(a=1.0, b=0.5, c=0.3):
    tau = (1 + np.sqrt(5)) / 2
    
    # 定义原始二十面体顶点
    D1 = np.array([0, tau, 1])
    D2 = np.array([tau, 1, 0])
    
    # 定义对偶十二面体顶点
    E1 = np.array([1, tau**2, 0])
    E2 = np.array([tau, tau, tau])
    E3 = np.array([0, 1, tau**2])
    
    # 计算d参数（共面条件）
    numerator = a**2*c + 3*a*b*c + b**2*c - c**3 - a*c**2 + 2*a*b**2 + tau*(2*a**2*b + 2*a*b**2 + 4*a*b*c + 2*b**2*c - 2*c**3)
    denominator = a*c + 2*b*c - 2*c**2 + tau*(2*a*b + b*c - c**2)
    d = numerator / denominator
    
    # 生成五个顶点
    X1 = a*D1 + b*E1 + c*E2
    X2 = a*D2 + b*E2 + c*E1
    X3 = a*D1 + b*E2 + c*E3
    Z1 = d*D1
    
    # 计算e参数（Y2顶点）
    Y2 = (a**2*c - 2*a*b*c + 2*a*c**2 - b**2*c + c**3 - 2*a**2*b - 2*a*b**2) / (c**2 - a*c - b*c - 2*a*b) * E2
    
    return [X1, X2, X3, Y2, Z1]

# ================== 第二类：四面体衍生结构 ==================
def tetrahedral_case(a=0.8, b=0.6, c=0.4):
    # 正四面体顶点（偶数负号）
    D1 = np.array([1, 1, 1])
    D2 = np.array([-1, -1, 1])
    
    # 对偶四面体顶点（奇数负号）
    E1 = np.array([-1, 1, 1])
    E2 = np.array([1, -1, 1])
    E3 = np.array([1, 1, -1])
    
    # 计算d和e参数
    numerator = a**2*c - 2*a*b*c + 2*a*c**2 - b**2*c + c**3 - 2*a**2*b - 2*a*b**2
    d = numerator / (3*c**2 + a*c - 3*b*c - 2*a*b)
    e = numerator / (c**2 - a*c - b*c - 2*a*b)
    
    # 生成五个顶点
    X1 = a*D1 + b*E1 + c*E2
    X2 = a*D2 + b*E2 + c*E1
    X3 = a*D1 + b*E2 + c*E3
    Z1 = d*D1
    Y2 = e*E2
    
    return [X1, X2, X3, Y2, Z1]

# ================== 第三类：立方体内嵌凹十二面体 ==================
def cubic_pentagonal_dodecahedron():
    alpha = (np.sqrt(5)-1)/2
    
    # 立方体顶点
    A = [np.array(v) for v in [
        (1,1,1), (-1,1,1), (-1,-1,1), (1,-1,1),
        (1,1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,-1), (1,-1,-1)
    ]]
    
    # 内凹顶点
    B = [np.array(v) for v in [
        (alpha**2, alpha, 0), (alpha**2, -alpha, 0),
        (0, alpha**2, alpha), (0, alpha**2, -alpha),
        (alpha, 0, alpha**2), (-alpha, 0, alpha**2),
        (-alpha**2, alpha, 0), (-alpha**2, -alpha, 0),
        (0, -alpha**2, alpha), (0, -alpha**2, -alpha),
        (alpha, 0, -alpha**2), (-alpha, 0, -alpha**2)
    ]]
    
    # 定义五边形面（示例）
    faces = [
        [0, 8, 1, 9, 4],  # A1-B9-B2-A2-B5
        [0, 2, 10, 3, 8], # A1-B3-B4-A2-B9
        # 可根据对称性补充其他面...
    ]
    
    return A + B, faces

最后我们在开始提到的图形当中提出一个小问题，如果需要计算如下的图形的各个顶点坐标，应当如何标注？

绘制图片代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection

# 3D可视化
def plot_polyhedron():
    fig = plt.figure(figsize=(12, 10))
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    
    # 绘制顶点
    xs, ys, zs = zip(*vertices)
    ax.scatter(xs, ys, zs, color='red', s=50)
    
    # 绘制面片
    for face in faces:
        verts = [vertices[i] for i in face]
        ax.add_collection3d(Poly3DCollection([verts], alpha=0.7, edgecolor='k', linewidths=1, facecolor='cyan'))
    
    # 设置坐标轴
    max_val = max(max(abs(x), abs(y), abs(z)) for x, y, z in vertices) * 1.2
    ax.set_xlim([-max_val, max_val])
    ax.set_ylim([-max_val, max_val])
    ax.set_zlim([-max_val, max_val])
    
    ax.set_xlabel('X')
    ax.set_ylabel('Y')
    ax.set_zlabel('Z')
    ax.set_title('Medial Rhombic Triacontahedron (部分面展示)')
    
    # 视角调整
    ax.view_init(elev=25, azim=45)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

导出为STL文件用于3D打印：

from stl import mesh
def export_stl():
    poly = mesh.Mesh(np.zeros(len(faces), dtype=mesh.Mesh.dtype))
    for i, f in enumerate(faces):
        poly.vectors[i] = [vertices[idx] for idx in f]
    poly.save('medial_rhombic.stl')

通过接入deepseek，对问题进行分析，测试大模型的分析与解决问题的能力。摘抄部分结果：

多面体类型	关键数学工具	DeepSeek实现重点
内侧菱形三十面体	黄金比例τ、向量平行性验证	顶点坐标精确计算、凹角可视化
二十面体衍生结构	参数化共面条件（d/e公式）	复杂分式运算、对称性生成
立方体内嵌十二面体	五边形凹陷拓扑、平面方程	自动内凹顶点生成、非凸面片渲染