pku 1891 Strange Way to Express Integers 同余方程组_奇怪的方程 description 一般我们求的同余方程组mod 的数是两两互素的,可以直接用-优快云博客

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本文介绍了一种解决非互质模数的同余方程组的方法，通过使用扩张欧几里德算法来找到满足特定条件的未知数x，并通过最小线性不定方程求解来逐步合并方程。

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一般我们求的同余方程组mod 的数是两两互素的，可以直接用孙子定理(中国剩余定理)求解。

然而本题mod的数可能不是互素，所以要转换一下再求。
x=b1(mod a1);   1)
x=b2(mod a2);   2)
a1*x1+b1=x=b2(mod a2)
所以a1*x1+b1=b2(mod a2)
    a1*x1=(b2-b1)(mod a2)
我们知道形如AX=B(mod p)的同余式可用扩张欧几里德算法求出一个最小的一个X。所以容易求出x1的值，代入1)式，得出x.
接着这一步很关键的是将该两个方程合并成一个方程为
x'==x(mod LCU(a1,a2) );
然后用该方程与接下来的一个联立，依次求解即可得出结果。

#include <stdio.h> long long mod(long long a,long long b) { return (a % b + b) % b; } struct triple { long long d,x,y; }; long long Euclid(long long a,long long b) { if(b == 0) return a; else return Euclid(b,mod(a,b)); } triple Extended_Euclid(long long a,long long b) { triple result; if(b == 0) { result.d = a; result.x = 1; result.y = 0; } else { triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b)); result.d = ee.d; result.x = ee.y; result.y = ee.x - (a/b)*ee.y; } return result; } long long MLES(long long a,long long b,long long n) { triple ee = Extended_Euclid(a,n); if(mod(b,ee.d) == 0) return mod((ee.x * (b / ee.d)),n/ee.d); else return -1; } long long ExGCD(long long a, long long b, long long& x, long long& y) { if(b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } long long d = ExGCD(b, a%b, x, y); long long temp = x; x = y; y = temp - a/b*y; return d; } long long LCM(long long a, long long b) { return a/Euclid(a, b)*b; } int main() { __int64 k; while(scanf("%I64d", &k) != EOF) { __int64 a1, r1, a2, r2; __int64 ret; __int64 i; bool flag = true; scanf("%I64d%I64d", &a1, &r1); for(i = 0; i < k-1; ++i) { scanf("%I64d%I64d", &a2, &r2); ret = MLES(a1, r2-r1, a2); if(ret == -1) { flag = false; continue; } r1 = a1*ret+r1; a1 = LCM(a1, a2); } if(flag) printf("%I64d/n", r1); else printf("-1/n"); } return 0; }