softmax求导，你求对了吗

问题提出 
按定义(一般资料中的定义)，softmax的似然函数为： 

∏i∏kPk(xi)I(y(i)=k)

其中 k∈{1,2,⋯,K}, i∈{1,2,⋯,N}, Pk(xi) 按softmax概率定义有： 

Pk(xi)=eθTkxi∑Kl=1eθTlxi

对似然函数取负对数，求匀值，引入正则项，得到目标函数/损失函数，如下: 

J(θ)=−1N∑i∑k(I(y(i)=k)lneθTkxi∑Kl=1eθTlxi)+λ2∥θ∥22

这与网站上的一致，当然也是正确的。接下来是求导，如下： 

∂J(θ)∂θj=−1N∑i(I(y(i)=j)∑Kl=1eθTlxieθTjxiPj(xi)|θTjxi)xi+λθj

其中Pj(xi)|θTjxi是Pj(xi)对θTjxi的导数，如下 

Pj(xi)|θTjxi=eθTjxi∑Kl=1eθTlxi−(eθTjxi)2(∑Kl=1eθTlxi)2

整理得， 

∂J(θ)∂θj=−1N∑i(I(y(i)=j)(1−Pj(xi)))xi+λθj

这与网站上的结果不一致。网站上的结果为： 

∂J(θ)∂θj=−1N∑i(I(y(i)=j)−Pj(xi))xi+λθj

但是从推导过程来说好像没有什么错误，于是我开始怀疑网站上的结果是否正确。UFLDL Tutorial 中介绍过梯度检验方法。我按网站上的公式写目标函数和梯度进行验证，发现网站上的是对的，我认为正确的却不对，问题出在哪呢？

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重新认识 softmax 
按定义(一般资料中的定义)，softmax 的似然函数为： 

∏i∏kPk(xi)I(y(i)=k)

softmax 每次只能取一个值，有排它性。另一种等价定义为: 

∏i∏k(eθTkXi)I(y(i)=k)∑KleθTjxi

对应的目标函数为： 

J(θ)=−1N∑i((∑kI(y(i)=k)lneθTkxi)−ln∑lKeθTlxi)+λ2∥θ∥22

对这个目标函数求导为： 

∂J(θ)∂θj=−1N∑i(I(y(i)=j)−Pj(xi))xi+λθj

事实上，对于第二种似然函数，如果考虑softmax 每次只能取一个值，有排它性，即I(y(i)=k) 只有一个为1，其它全为0。上面的目标函数与下面这个等价： 

J(θ)=−1N∑i∑k(I(y(i)=k)lneθTkxi∑Kl=1eθTlxi)+λ2∥θ∥22

总之， 网站上给的结论都是正确的。

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问题出在哪？ 
∑KleθTlxi 是归一化因子，与抽样无关。I(y(i)=k) 只应影响与抽样相关的项，不应影响归一化因子∑KleθTlxi。所以， 

J(θ)=−1N∑i∑k(I(y(i)=k)lneθTkxi∑Kl=1eθTlxi)+λ2∥θ∥22

要先变成： 

J(θ)=−1N∑i((∑kI(y(i)=k)lneθTkxi)−ln∑lKeθTlxi)+λ2∥θ∥22

再计算。