UVA 10213 - How Many Pieces of Land ? （平面图欧拉公式）

最新推荐文章于 2019-07-30 12:06:00 发布

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分类专栏：数学-----------计数问题文章标签：平面图欧拉公式

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博客给出题目链接，题意是求椭圆上N个点两两连接最多将椭圆划分成多少部分。解题思路是运用平面图欧拉公式V−E+F = 2，所求结果为ans = E−V + 1，之后需计算顶点V和边E的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-10213

【题意】
一个椭圆上有N个点，把他们两两连接，问最多能将椭圆划分成多少个部分

【思路】
平面图的欧拉公式， $V - E + F = 2$ ，其中V表示顶点个数，E表示边的个数，F表示面的块数
减去最外面的无限大的面，所求 $ans = E - V + 1$
然后就是计算V和E了，假设 $n≥4$ ，从圆周上的一个点出发枚举一条对角线，左边有 $i$ 个点，右边有 $n-2-i$ 个点，将左右两边的点两两相连，就在这条对角线上得到 $i(n-2-i)$ 个点，每个点会被重复算4次，再加上圆周上的 $n$ 个点所以

V = n + \frac{n}{4} \sum_{i = 1}^{n - 3} i (n - i - 2)

$V=n+\frac{n}{4}\sum^{n-3}_{i=1}i(n-i-2)$
然后计算E，一条对角线有

i(n−2−i) i ( n − 2 − i ) $i(n-2-i)$ 个点，这条对角线上就会有

i(n−2−i)+1 i ( n − 2 − i ) + 1 $i(n-2-i)+1$ 条边，每条边会被重复计算两次，再加上原来圆弧上的

n n $n$ 条边和相邻结点相邻的

n

$n$ 条边，所以

E = 2 n + n 2 \sum i = 1 n - 3 (i (n - i - 2) + 1)

$E=2n+\frac{n}{2}\sum^{n-3}_{i=1}(i(n-i-2)+1)$
再借助于下面两个公式去化简

\sum i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

$\sum^{n}_{i=1}i=\frac{n(n+1)}{2}$

\sum i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

$\sum^{n}_{i=1}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 得到的最终答案为

a n s = 1 24 n (n 3 - 6 n 2 + 23 n - 18) + 1

$ans=\frac{1}{24}n(n^3-6n^2+23n-18)+1$

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input=new Scanner(System.in);
        int T=input.nextInt();
        for(int kase=1;kase<=T;++kase) {
            BigInteger n=input.nextBigInteger();
            BigInteger ans=n.pow(3);
            ans=ans.subtract(n.pow(2).multiply(BigInteger.valueOf(6)));
            ans=ans.add(n.multiply(BigInteger.valueOf(23)));
            ans=ans.subtract(BigInteger.valueOf(18));
            ans=ans.multiply(n);
            ans=ans.divide(BigInteger.valueOf(24));
            ans=ans.add(BigInteger.ONE);
            System.out.println(ans);
        }
        input.close();
    }
}