网络流入门1——简单模型转化

在现在的信息学竞赛中，一般不会考裸的最大流问题，而是把问题转化为最
大流或最小割模型，这使得题目有了难度。
1. 最大流模型
一个典型的最大流模型就是二分图的最大二分匹配。
二分图 ( , , ) G X Y E  ，其中 X 和 Y 是两个不相交的点集，并且对于每对
( , ) u v E  ， u X  且 v Y  。二分图的最大二分匹配问题就是从 E 中选择一些边，

使得每个点最多在选择的边里出现一次，问最多能选多少条边。

一个二分图的例子及其最大匹配（实线表示选中的边，虚线表示未选中的边）

由于每个点只能在选择的边里出现一次，就此我们可以联想到了流的容量限制 f(u,v)<=c(u,v)，因此我们控制经过每个点的流量不超过 1 即可保证每个点只被使用一次。这样我们就得到了一个思路：增加源点和汇点，从源点到左边的每个点连边，从右边的每个点到汇点连边，容量都为 1。两边点中间的边保持不变，只是改成有向边，从左边指向右边。

对于每个左边的点，进去的流量最多只有 1；对于每个右边的点，出去的流
量最多只有 1，所以每个点最多在选中的边里最多出现一次（选中的边即为中间
流量为 1 的弧）。又因为流最大，所以结果就是原二分图的最大二分匹配。
关于二分图的最大二分匹配还有另外一种算法：匈牙利算法，由于其可以更
简单地实现，所以在竞赛中往往不使用最大流，但这种建模方式值得借鉴。