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最新推荐文章于 2021-06-22 14:44:14 发布

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分类专栏： DP_概率，期望dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xianpingping/article/details/78997295

DP_概率，期望dp 专栏收录该内容

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本文介绍了一道关于迷宫行走的期望DP问题及其解决方法。文章详细解释了如何使用期望DP来计算从起点到终点所需的平均魔法值，并通过具体代码示例展示了实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有一个r*c的迷宫，题目给出“原地不动”，“朝右走”，“朝下走”的概率。每走一步需要消耗2个魔法值。问从（0，0）开始走到（r，c）位置需要多少魔法值

题目分析：一看就是一道期望dp，需要用的就是公式。水题。

dp[i][j]记录的就是到点（i，j）的期望值。

1.期望dp

期望dp通常逆推，即从结果推向初始状态，也可以用记忆化搜索进行dp；

E=Σp1*(E1+X1)+Σp2*(E+X2)

其中E为当前状态的期望，E1为下一个状态的期望，p1和X1分别为将当前状态转移到下一个状态的概率和花费，p2和X2分别为保持当前状态的概率和花费。

最后化简为E=(Σp1*(E1+X1)+Σp2*X2)/(1-Σp2)

代码如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
double dp[1005][1005],gailv[1005][1005][3];
int main()
{
    int r,c;
    while(~scanf("%d%d",&r,&c))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=r;r++)
        {
            for(int j=1;j<=c;j++)
            {
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    scanf("%lf",&gailv[i][j][k]);
                }
            }
        }
        for(int i=r;i>0;i--){
            for(int j=c;j>0;j--){
                if(i==r&&j==c)
                    continue;
                if(fabs(1-gailv[i][j][0])<1e-7)
                    continue;
                dp[i][j]=(gailv[i][j][1]*dp[i][j+1]+gailv[i][j][2]*dp[i+1][j]+2)/(1-gailv[i][j][0]);
            }
        }
        printf("%.3f",dp[1][1]);
    }
    return 0;
}

感觉一篇文章对公式的解读比较好：

我们知道概率的 E(i)=p1+p2+p3......+pn;

对于E(ax+bk)=a*Ex+b*Ek;

我们不妨从（r,c）出发：

首先要明确的是：在没有到达(r,c)之前，是不能停留的。所以

dp[1][1]=dp[1][2]*mat[1][1][3]+dp[2][1]*mat[1][1][2];

dp[1][1]=dp[1][1]/(1-map[1][1][0]) //除去停下来的其他概率，得到期望

依次这样推：

dp[i][j]=dp[i][j+1]*mat[i][j][3]+dp[i+1][j]*mat[i][j][2];

dp[i][j]=dp[i][j]/(1-map[i][j][0]) //除去停下来的其他概率，得到期望

但是由于这样从（1,1)推断，会出现将不收敛问题；