算法导论学习笔记（8）——动态规划之矩阵链乘法

【问题描述】

给定有n个连乘矩阵的维数，要求计算其采用最优计算次序时所用的乘法次数，即所要求计算的乘法次数最少。例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采用（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，而采用A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。

c++代码：

#define MAX_SIZE 50 
using namespace std;
int m[MAX_SIZE][MAX_SIZE]; 
int s[MAX_SIZE][MAX_SIZE]; 
//m表示计算矩阵需要的标量乘法运算次数的最小值
//s记录计算m时取得的最优代价处k的值
//p表示的是矩阵的维数数组，例如第i个矩阵的维数是p[i-1] x p[i]
//num表示矩阵数
void matrix_chain_order(int p[],int num) 
{ 
 int n=num; 
 int i,j,k,w,q; 
 for(i=1;i<=n;i++) 
  m[i][i]=0; 
 for(w=1;w<=n-1;w++)//j-i=w 
 { 
  for(i=1;i<=n-w;i++) 
  { 
   j=w+i; 
   m[i][j]=100000000;//对于不同的矩阵数可以自行设置大小 
   for(k=i;k<=j-1;k++) 
   { 
    q=s[i][k]+s[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; 
    if(q<m[i][j]) 
    { 
     m[i][j]=q; 
     s[i][j]=k;//记录k的值 
    } 
   } 
  } 
 } 
} 
void display(int k,int i,int j)//k代表最优的中间值 
{ 
 if(i==j) 
 { 
  printf("M%d",i); 
 } 
 else 
 { 
  printf("("); 
  display(s[i][k],i,k); 
  printf("*"); 
  display(s[k+1][j],k+1,j); 
  printf(")"); 
 } 
}
int main()
{
 int i;
 int num,size[MAX_SIZE];
 printf("请输入相乘矩阵的个数:"); 
 cin>>num; 
 printf("请输入矩阵的行数与列数:\n"); 
 for(i=0;i<=num;i++) 
  cin>>size[i]; 
 matrix_chain_order(size,num); 
 printf("实现矩阵相乘最少的标量积为: %d",s[1][num]); 
 printf("\n矩阵相乘顺序为:"); 
 display(s[1][num],1,num); 
 printf("\n");  
 return 1;
};