正交向量与子空间

关于向量正交（orthogonality vector）我们都已不陌生，正交是垂直的另一种说法，两个向量正交意味着这两个向量的夹角为90度，如果要判断两个向量是否正交，只需对向量作点乘（dot product）相加，即内积，等于0就是正交的，如x^Ty=0，则x和y是正交的，如果x是零向量，y任意或者y是零向量，x任意，那么这两个向量是正交的，即零向量与任何向量都正交。

将正交从向量推广到子空间，定义子空间S和子空间T，如果S和T正交，那意味着S中的每个向量和T中的每个向量都正交，举个最常见的例子，现有黑板、地面、另一面墙是相互垂直的，那么它们是正交的吗？很显然不是，比如我取黑板上45度的向量，再取个地面上的向量，它们绝对不正交，或者可以这样考虑，取同在黑板和地面上的向量，即位于交界处的向量，自己绝对不会跟自己正交的，所以如果两个子空间在某一非零向量（注意是非零向量）处相交，那它们一定不正交。

上面的是正交，现在介绍正交补的概念，如果是正交补那么两子空间除了要正交，还需要维度满足一定条件，拿前面已经学过的4个子空间为例，我们已知道对于某个秩为r的矩阵A，其行空间是r维，零空间是n-r维，列空间是r维，左零空间是m-r维，其中行空间正交于零空间，列空间正交于左零空间，因为 ，所以这个等式告诉我们零空间中的x与A的所有行都正交，并且与A所有行的线性组合也是正交的，所以行空间和零空间是正交的。对于列空间和左零空间，因为