从1到n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数n,求从1到n这n个整数中的十进制表示中，1出现的次数。

分析：

我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段，即1-1345和1346-21345。

先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在

10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10⁴）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中

1346-21345，可以分为1346-11345以及11346-21345这两段，每一段都是10000个数，两段也就是20000个数。先分析1346-11345这

10000个数，在这些数的后四位中实际上是从1346->1347...->9999->0->1->2...->1344->1345，这么一个过程，也就是说后4位实际上可以看成从0~9999这10000个数，其中1出现在每一位上有4中可能，然后剩下的3位可以从0~9随便取，从而一共有4*10^3个1，这只是1346-11345的，再加上11346-21345的，一共是2*4*10^3个1。也就是说1出现在除了最高位之外的其他位中总共出现的次数是最高位*其它位的位数（也就是len-1）*10^(len-2)。

至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-13455和1346-21345两段

的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10⁴（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10⁴次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

int power(int n)
{
	int result = 1;
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
		result *= 10;
	return result;
}

int numbers_core(const char *str)
{
	if(str==NULL || *str<'0' || *str>'9' || *str=='\0')//字符串地址为空或者首字符不是0~9或者是空字符串，直接返回
		return 0;
	int first = *str - '0';//将首字符转换成整数
	int len = strlen(str);//字符串的长度
	if(len==1 && first==0)//判断n是不是0，如果是，则返回0
		return 0;
	if(len==1 && first>0)//判断n是不是1~9，即只有一位，如果是，则返回1
		return 1;
	int num_first_digit = 0;//用于记录最高位出现1的次数
	int num_other_digit = 0;//用于记录除最高位之外的其它位出现1的次数
	int num_cursive;//用于记录递归返回的次数
	if(first==1)//如果最高位为1，则最高位出现1的次数是其它位加1，比如1234，则最高位1出现的次数是234+1
		num_first_digit = atoi(str+1)+1;
	else if(first>1)//如果最高位不是1，则最高位出现1的次数是剩下位数的10的幂次方，比如2234，最高位1出现的次数是10的三次方，即1000~1999
		num_first_digit = power(len-1);
	num_other_digit = first*(len-1)*power(len-2);//其它位出现1的次数
	num_cursive = numbers_core(str+1);//从字符串最高位的下一位继续递归
	return num_first_digit+num_other_digit+num_cursive;//返回的是记录最高位1的次数以及其它位为1的次数以及递归返回的次数之和
}

int numbers(int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	char str[50];
	sprintf(str,"%d",n);//将n值转换为字符串
	return numbers_core(str);
}

int main()
{
	int n;
	printf("请输入n的值:\n");
	scanf("%d",&n);
	int num = numbers(n);
	printf("从1到%d中1出现的次数为:%d\n",n,num);
	return 0;
}