Codeforces #207 div2 C. Prime Number 数论 gcd

题目

题目链接：http://codeforces.com/contest/359/problem/C

题目来源：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/14530153

简要题意：通分分母为$x^{a_1+a_2+\cdots+a_n}$，求$\frac{1}{x^{a_1}}+\frac{1}{x^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{x^{a_n}}$的分子和分母的gcd

数据范围： $1 \leqslant  n \leqslant  10^5; \quad 2 \leqslant  x \leqslant  10^9\\ 0\leqslant  a_1 \leqslant  a_2 \leqslant \cdots \leqslant  a_n \leqslant  10^9$

题解

首先，我们不妨让

$$\quad b_i=(\sum^{n}_{i=1}{a_i})-a_i \qquad sum=\sum^{n}_{i=1}{a_i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$

可以看出按照顺序分子上的第$i$项为$x^{b_i}$，问题转化为了求

$$\quad \gcd(x^{sum},\sum^{n}_{i=1}{x^{b_i}}) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$

不难发现直接求这个已经有点接近答案了

$$\quad x^{\min_{i=1}^{n}({b_i})}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$

但是由于相同的$x^{b_i}$可能可以合并成$x^{b_i+1}$因而可能会错

而$x$个相同的$x^{b_i}$加起来就可以合并成一个$x^{b_i+1}$

这个合并的过程可以使用map来进行模拟，不断合并，合并过程中，最小的个数不能整除$x$的那个$b_i$就是合并之后$\sum^{n}_{i=1}{x^{b_i}}$中能抽取出来的最高的$x$的幂次，不妨令它为$Ans$

则最终输出的结果为

$$\quad x^{\min(Ans,sum)}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$

实现

$\quad\ \ $写的时候开始就想到了map来搞，但是写的时候由于map的特殊性，即在遍历的时候不能改变内部结构（增删，可能导致迭代器失效），有点茫然。

$\quad\ \ $后来想想其实合并的过程下一次加1的位置必然是有的，也必然要合并的，所以只要根据值来访问就能避免这个问题了。

$\quad\ \ $还有就是对于map<LL, int> m; m[x+1] += m[x++]/n;这个代码实际运行的时候会得到错误的答案。

$\quad\ \ $也许是由于STL内部实现的问题吧，然后把这句拆开来就没问题了。

$\quad\ \ $复杂度为$O(n\log n+\log(sum))$。

2A代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
LL powmod(LL a,LL b, LL MOD) {LL res=1;a%=MOD;for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;}return res;}
// head
const int N = 1e5+5;
int a[N];
map<LL, int> m;
LL getAns(LL n) {
    LL x = m.begin()->fi;
    while (m[x]%n == 0) {
        m[x+1] += m[x]/n;
        x++;
    }
    return x;
}
int main()
{
    int n;
    LL x, sum = 0;
    scanf("%d%I64d", &n, &x);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a+i);
        sum += a[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        m[sum-a[i]]++;
    }
    sum = min(getAns(x), sum);
    printf("%I64d\n", powmod(x, sum, 1e9+7));
    return 0;
}