扩展欧几里得算法

这个是数论中的最基础的东西，用途也很明确，就是解线性二元一次不定方程的整数解（不一定非负），在解线性同余方程的时候也有用，易证若方程ax+by=c有整数解，则gcd(a,b)|c（在此不证明），我们便可以利用它的这一性质与欧几里得算法结合，先巩固一下欧几里得算法，其实就是求最大公约数，采用更相减损术的思想，代码已贴至上篇博文。

下面介绍拓展欧几里得算法。

考虑方程ax+by=c，我们可以改写成ax+by=gcd(a,b)*k(k为整数)。这个方程又可以推出另一个方程bx'+(a mod b)y'=gcd(b,a mod b)*k，由前面的欧几里得算法的原型可以推出gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)从而推出bx'+(a mod b)y'=ax+by，令x=y'，由a mod b=a-a div b*b则可解出y=x'-(a div b)*y'递归实现直到b=0，方程为ax=c，解为x=c/a,y=0，再一路传上去就可以得到方程的解了（讲得很纠结。。）。代码如下：

procedure ex_gcd(a,b,c:longint; var x,y:longint);
var t:longint;
begin
 if b=0 then begin
  x:=c div a; y:=0;
 end else begin
           ex_gcd(b,a mod b,c,x,y);
           t:=x; x:=y; y:=t-(a div b)*y;
          end;
end;

在这里推荐两个题目巩固这个算法，poj1061-青蛙的约会（基础，列方程套算法即可求解）和sgu106-The Equation（推荐，容易错）。（代码已贴至博客）