【Codeforces301E】Yaroslav and Arrangements

题意：

• 给出$n,m,k$，询问有多少个长度为$n$的数组$b$满足以下要求：
  
  • $b[i] \leq b[i+1](1 \leq i < n)$
  • $1 \leq b[1] \leq b[n] \leq m$
  • 将$b$数组排列后有大于等于一种小于等于$k$种排列$a$满足以下要求：
    
    • $|a[i]-a[i+1]|=1(1 \leq i<n)$
    • $|a[n]-a[1]|=1$
    • $a[1]=min_{i=1}^{n}a[i]$
  • $n,m,k \leq 100$

  题解：

  • 首先我们可以假设$a[1]=1$，最后将答案乘上$m-i+1$即可。
  • 不妨破环成链，设$a[n+1]=a[1]$。
  • 设$dp[i][j][k][l]$表示目前最大数为$i$，已经有$j$个数，有$k$个空必须加数，满足的排列数已有$l$种的方案数。
  • 转移比较显然：
  • 枚举$i+1$的个数$t$。
  • $dp[i][j][k][l]->dp[i+1][j+t][t-k][l*C_{t-1}^{k-1}]$
  • 注意，只有一个数显然是不可以的（因为我们开始已经让加一了）。

  代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define mod 1000000007
  #define N 109
  using namespace std;
  int c[N][N],n,m,K,dp[2][N][N][N],Ans;
  void add(int &x,int y)
  {
      x=(x+y>=mod)?x+y-mod:x+y;
  }
  int main()
  {
      ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
      cin>>n>>m>>K;
      c[0][0]=1;
      for (int i=1;i<=K;i++)
          for (int j=0;j<=i;j++)
          {
              c[i][j]=(j?c[i-1][j-1]:0)+c[i-1][j];
              if (c[i][j]>K) c[i][j]=K+1;
          }
      n++;
      int now=1,last=0;
      dp[now][0][1][1]=1;
      for (int i=0;i<=m;i++)
      {
          last=now,now^=1;
          if (i)
          {
              int tmp=0;
              for (int j=2;j<=n;j++)
                  for (int l=1;l<=K;l++) add(tmp,dp[last][j][0][l]);
              add(Ans,(ll)tmp*(m-i+1)%mod);
          }
          if (i==m) break;
          memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
          for (int j=0;j<=n;j++)
              for (int k=1;k<=n;k++)
                  for (int l=1;l<=K;l++)
                      if (dp[last][j][k][l])
                          for (int t=k;t<=n-j;t++)
                              if (l*c[t-1][k-1]<=K)
                                  add(dp[now][j+t][t-k][l*c[t-1][k-1]],dp[last][j][k][l]);
      }
      cout<<Ans<<'\n';
      return 0;
  }