英国数学家宣布证明黎曼猜想

英国数学家宣布证明黎曼猜想

雷锋网

百家号09-2415:51

雷锋网消息，数学历史上最重要的未解决问题之一被解决了，英国退休数学家 Michael Atiyah 周一在德国海德堡 Laureate Forum 论坛的一次演讲上宣布证明了黎曼猜想（RH）。

Atiyah 用一篇简洁的 5 页论文阐述了证明的过程，核心在于一个新的函数 T(s)，这是根据他的老师 J.A.Todd 的名字 取名的一个函数。

在论文的第 2 部分，Atiyah 对该函数进行了解读和澄清；在第 3 部分，他通过 T(s) 证明了 RH；在第 4 部分，他解释了这一简单证明 RH 的神秘之处；最后在第 5 部分，他从 Arithmetic Physics 这个更广的背景下来看待这篇论文。

以下为论文全文：

关于黎曼猜想

根据维基百科的介绍，黎曼猜想（英语：Riemann hypothesis）由德国数学家波恩哈德·黎曼（德语：Bernhard Riemann）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题（猜想界皇冠）。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。其猜想为：

黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = 2, s = 4, s= 6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。

黎曼猜想提出：

黎曼ζ函数非平凡零点的实数部分是

即所有的非平凡零点都应该位于直线

（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。

素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理

等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。

黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与阿特勒·塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）。克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。

关于 Michael Atiyah

Atiyah出生于1929年，是英国最杰出的数学人物之一，曾获得两项通常被称为数学界诺贝尔奖的奖项——菲尔兹奖和阿贝尔奖的奖项。他还曾在不同时期担任伦敦数学学会，皇家学会和爱丁堡皇家学会的会长。