Nwerc2009 Divisible Subsequence-优快云博客

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博客介绍了如何利用前缀和与组合数学解决寻找满足特定条件的子序列数量的问题。通过计算每个前缀和对指定整数的余数，并存储每个余数值的出现次数，可以有效地计算出所有满足条件的子序列组合。代码示例展示了如何实现这一算法，最终得出正确答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个数列，希望你从中找出一些连续的子数列（有时也称之为子串，相对子数列，子串是可以去掉一些元素的）,要求子序列的元素之和能被N整除。

Input

第一行给出数字D，N。D代表数列一共有多少个元素，N代表被整除的数
下面一行给出D个数字，每个数字范围在[1, 1000000000]
1 <= d < = 1000000 ,1<= N <=50000

Output

一共有多少个子序列满足条件
Sample Input
3 3
1 2 3
Sample Output
3
【样例解释】
你可以取[1,2],[1,2,3],[3]这三个子数列

题目大意：
现给出n个数，再给出数字k，求在这数列中有多少可整除k的子数列和。

题解：
如果要求子数列和，不难想到前缀和，但如果枚举的话，肯定会超时，那怎么办呢？
首先，我们不妨现看一串样例：
6 3
1 2 3 4 5 6
前缀和分别为：
1 3 6 10 15 21
普通的做法(会超时)：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
if((f[i]-f[j])%k==0)
ans++;

那我们不如换一种思路：
若f[i]%k==f[j]%k,那么i到j之间是不是肯定可以整除k(可以在纸上画画)。
接着，我们再算出每一个前缀和除k所得的余数，并用一个数组d来存值，这样题目就简化成了：
枚举0到k-1，算出在当前d[i]中任意取两个有多少种组合。
但是按照这样子算的话，会发现答案不对，为什么呢？（点关注，答案自动显现！！！呵呵，放松放松）

这是因为当前枚举的是两个数之间的和，并没有包括一个数整除k为0的，所以最后还要再加一遍f[0]。
（此题数据卡的比较紧，若一个值太大会爆导致错误，所以每次在读入后就立即除以k，再加上前缀和，再除以k，并且尽量不要开数组，记得开long long）
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long N,D,ans,sum;
long long a[1000010];
long long b[50001];
int main() {
long long p=0;
scanf("%lld%lld",&D,&N);
for(long long i=1; i<=D; i++) {
long long x;
scanf("%lld",&x);
p=(p+x%N)%N;
b[p]++;
}
for(long long i=0; i<=N-1; i++) {
if(b[i]>=1)
sum+=b[i]*(b[i]-1)/2;
}
cout<<sum+b[0]<<endl;
}