机器学习实战Logistic回归之马儿得疝气了，怎么办？

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这个算法搞得我晚上十点打电话给弟弟，问Ln(x)，1/x的导数公式。很惭愧，大学时被我用的出神入化、化成灰我都能认出的求导公式，我今天居然忘了；这时也要说说西市佳园的移动网络信号，真不怎么好。这次我重点学习Logistic回归，涉及到了最大似然函数最大化的优化解法。

优点：计算代价不高，易于理解和实现；

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高；

适用数据类型：数值型和标称型数据。

Logistic回归使用Sigmoid函数分类。当x为0时，Sigmoid函数值为0.5，随着x的增大，Sigmiod函数将逼近于1；随着x的减小，Sigmoid函数将逼近于0。详情请移步http://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function。

如果用Logistic来预测呢？假设房价x和大小x1，户型x2，朝向x3这三个因素相关，x = w0 + w1*x1 + w2 * x2 + w3*x3，这里w0，w1， w2，w3是各个因素对最终房价的影响力的衡量，照常来说，房间大小x1对房价的决定性更大，那么w1会更大一些，朝向相对其他两个的影响因素更小一些，那么w3会小一些，这里假设朝向，户型和大小一样有相同的取值范围，当然，现实中朝向的取值不会多到和房子大小那么多。我们对每一个影响因素x都乘以一个系数w，然后这些计算出一个房价x，将x代入Sigmiod函数，进而得到一个取值范围在0---1之间的数，任何大于0.5的数据就被划分为一类，小于0.5的被划分为另一类。

下来看看这个函数：。这个函数很有意思，当真实值y为1时，这个函数预测值为1的概率就是Sigmoid概率，当真实值y为0时，这个函数预测值为0的概率为1-Sigmoid概率。于是这个函数代表了Sigmoid函数预测的准确程度。当我们有N个样本点时，似然函数就是这N个概率的乘积。我们要做的呢，就是找出合适的w(w0,w1,w2...)让这个似然函数最大化，也就是尽量让N个样本预测的准确率达到最高。ln(f(x))函数不会改变f(x)的方向，f(x)的最大值和ln(f(x))的的最大值应该在一个点，为了求的最大值，我们可以求的最大值。

好了，就是求最大值的问题，这次使用梯度上升法（梯度上升法是用来求函数的最大值，梯度下降法是用来求函数的最小值）。梯度上升法的的思想是：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻，这样梯度算子总是指向函数增长最快的方向：，a为每次上升移动的步长，是f(w)的导数。

下来呢，为了求的最大值，需要求这个函数的导数？然后让我们让预估的参数每次沿着导数的方向增加一定的步长a。

于是w:=w+a(y-h(x))，y是真实分类值，x是真实属性值，h(x)是预测值，也即是h(x)= w0 + w1*x1 + w2 * x2 + w3*x3...

说了这多，下面来实现这个算法：

def grad_ascent(dataset, datalabel):
	weight = [1 for i in range(len(dataset[0]))]
	alpha = 0.01
	for k in range(500):
		errset = []
		for i in range(len(dataset)):
			sig = sigmoid(dataset[i], weight)
			errset.append(datalabel[i]-sig)
			
		for i in range(len(dataset[0])):
			for j in range(len(dataset)):
				weight[i] += alpha*dataset[j][i]*errset[j] 
	return weight
	
def rand_grad_ascent(dataset, datalabel):
	weight = [1 for i in range(len(dataset[0]))]
	alpha = 0.01
	for i in range(len(dataset)):
		sig = sigmoid(dataset[i], weight)
		err = datalabel[i] - sig
		for j in range(len(weight)):
			weight[j] += alpha*err*dataset[i][j]
			
	return weight

整体测试文件如下：

import math
def sigmoid(data, weight):
	z = sum([data[i]*weight[i] for i in range(len(data))])
	try:
		return 1.0/(1+math.exp(-z))
	except:
		if z > 0: return 1.0
		else: return 0.0
	
def logistic_classify(data, weight):
	prob = sigmoid(data, weight)
	if prob > 0.5: return 1.0
	else: return 0.0
	
def grad_ascent(dataset, datalabel):
	weight = [1 for i in range(len(dataset[0]))]
	alpha = 0.01
	for k in range(500):
		errset = []
		for i in range(len(dataset)):
			sig = sigmoid(dataset[i], weight)
			errset.append(datalabel[i]-sig)
			
		for i in range(len(dataset[0])):
			for j in range(len(dataset)):
				weight[i] += alpha*dataset[j][i]*errset[j] 
	return weight
	
def rand_grad_ascent(dataset, datalabel):
	weight = [1 for i in range(len(dataset[0]))]
	alpha = 0.01
	for i in range(len(dataset)):
		sig = sigmoid(dataset[i], weight)
		err = datalabel[i] - sig
		for j in range(len(weight)):
			weight[j] += alpha*err*dataset[i][j]
			
	return weight
	
def test(class_func):
	f_train = open('horseColicTraining.txt')
	f_test = open('horseColicTest.txt')
	
	trainset, trainlabel = [], []
	for line in f_train.readlines():
		line_cur = line.strip().split('\t')
		trainset.append([1]+[float(line_cur[i]) for i in range(21)])
		trainlabel.append(float(line_cur[21]))
		
	trainweight = class_func(trainset, trainlabel)
	
	errnu, tolnum= 0, 0
	for line in f_test.readlines():
		line_cur = line.strip().split('\t')
		pred_class = logistic_classify([1]+[float(line_cur[i]) for i in range(21)], trainweight)
		read_class = float(line_cur[21])
		if pred_class == read_class:
			#print "class succ"
			pass
		else:
			errnu += 1
			#print "class fail, read_class=%d, pred_class=%d" %(read_class, pred_class)
		tolnum += 1
		
	print "totol num=%d, fail num = %d, rate = %f" % (tolnum, errnu, float(errnu)/tolnum)
	
if __name__ == '__main__':
	test(grad_ascent)
	test(rand_grad_ascent)

训练数据

2.000000	1.000000	38.500000	66.000000	28.000000	3.000000	3.000000	0.000000	2.000000	5.000000	4.000000	4.000000	0.000000	0.000000	0.000000	3.000000	5.000000	45.000000	8.400000	0.000000	0.000000	0.000000
1.000000	1.000000	39.200000	88.000000	20.000000	0.000000	0.000000	4.000000	1.000000	3.000000	4.000000	2.000000	0.000000	0.000000	0.000000	4.000000	2.000000	50.000000	85.000000	2.000000	2.000000	0.000000
2.000000	1.000000	38.300000	40.000000	24.000000	1.000000	1.000000	3.000000	1.000000	3.000000	3.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	1.000000	33.000000	6.700000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	9.000000	39.100000	164.000000	84.000000	4.000000	1.000000	6.000000	2.000000	2.000000	4.000000	4.000000	1.000000	2.000000	5.000000	3.000000	0.000000	48.000000	7.200000	3.000000	5.300000	0.000000
2.000000	1.000000	37.300000	104.000000	35.000000	0.000000	0.000000	6.000000	2.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	74.000000	7.400000	0.000000	0.000000	0.000000
2.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	2.000000	1.000000	3.000000	1.000000	2.000000	3.000000	2.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	3.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	37.900000	48.000000	16.000000	1.000000	1.000000	1.000000	1.000000	3.000000	3.000000	3.000000	1.000000	1.000000	0.000000	3.000000	5.000000	37.000000	7.000000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	0.000000	60.000000	0.000000	3.000000	0.000000	0.000000	1.000000	0.000000	4.000000	2.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	4.000000	44.000000	8.300000	0.000000	0.000000	0.000000
2.000000	1.000000	0.000000	80.000000	36.000000	3.000000	4.000000	3.000000	1.000000	4.000000	4.000000	4.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	5.000000	38.000000	6.200000	0.000000	0.000000	0.000000
2.000000	9.000000	38.300000	90.000000	0.000000	1.000000	0.000000	1.000000	1.000000	5.000000	3.000000	1.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	0.000000	40.000000	6.200000	1.000000	2.200000	1.000000
1.000000	1.000000	38.100000	66.000000	12.000000	3.000000	3.000000	5.000000	1.000000	3.000000	3.000000	1.000000	2.000000	1.000000	3.000000	2.000000	5.000000	44.000000	6.000000	2.000000	3.600000	1.000000
2.000000	1.000000	39.100000	72.000000	52.000000	2.000000	0.000000	2.000000	1.000000	2.000000	1.000000	2.000000	1.000000	1.000000	0.000000	4.000000	4.000000	50.000000	7.800000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	37.200000	42.000000	12.000000	2.000000	1.000000	1.000000	1.000000	3.000000	3.000000	3.000000	3.000000	1.000000	0.000000	4.000000	5.000000	0.000000	7.000000	0.000000	0.000000	1.000000
2.000000	9.000000	38.000000	92.000000	28.000000	1.000000	1.000000	2.000000	1.000000	1.000000	3.000000	2.000000	3.000000	0.000000	7.200000	1.000000	1.000000	37.000000	6.100000	1.000000	0.000000	0.000000
1.000000	1.000000	38.200000	76.000000	28.000000	3.000000	1.000000	1.000000	1.000000	3.000000	4.000000	1.000000	2.000000	2.000000	0.000000	4.000000	4.000000	46.000000	81.000000	1.000000	2.000000	1.000000
1.000000	1.000000	37.600000	96.000000	48.000000	3.000000	1.000000	4.000000	1.000000	5.000000	3.000000	3.000000	2.000000	3.000000	4.500000	4.000000	0.000000	45.000000	6.800000	0.000000	0.000000	0.000000
1.000000	9.000000	0.000000	128.000000	36.000000	3.000000	3.000000	4.000000	2.000000	4.000000	4.000000	3.000000	3.000000	0.000000	0.000000	4.000000	5.000000	53.000000	7.800000	3.000000	4.700000	0.000000
2.000000	1.000000	37.500000	48.000000	24.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	37.600000	64.000000	21.000000	1.000000	1.000000	2.000000	1.000000	2.000000	3.000000	1.000000	1.000000	1.000000	0.000000	2.000000	5.000000	40.000000	7.000000	1.000000	0.000000	1.000000
2.000000	1.000000	39.400000	110.000000	35.000000	4.000000	3.000000	6.000000	0.000000	0.000000	3.000000	3.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	55.000000	8.700000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	39.900000	72.000000	60.000000	1.000000	1.000000	5.000000	2.000000	5.000000	4.000000	4.000000	3.000000	1.000000	0.000000	4.000000	4.000000	46.000000	6.100000	2.000000	0.000000	1.000000
2.000000	1.000000	38.400000	48.000000	16.000000	1.000000	0.000000	1.000000	1.000000	1.000000	3.000000	1.000000	2.000000	3.000000	5.500000	4.000000	3.000000	49.000000	6.800000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	38.600000	42.000000	34.000000	2.000000	1.000000	4.000000	0.000000	2.000000	3.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	0.000000	48.000000	7.200000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	9.000000	38.300000	130.000000	60.000000	0.000000	3.000000	0.000000	1.000000	2.000000	4.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	50.000000	70.000000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	38.100000	60.000000	12.000000	3.000000	3.000000	3.000000	1.000000	0.000000	4.000000	3.000000	3.000000	2.000000	2.000000	0.000000	0.000000	51.000000	65.000000	0.000000	0.000000	1.000000
2.000000	1.000000	37.800000	60.000000	42.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
1.000000	1.000000	38.300000	72.000000	30.000000	4.000000	3.000000	3.000000	2.000000	3.000000	3.000000	3.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	5.000000	43.000000	7.000000	2.000000	3.900000	1.000000
1.000000	1.000000	37.800000	48.000000	12.000000	3.000000	1.000000	1.000000	1.000000	0.000000	3.000000	2.000000	1.000000	1.000000	0.000000	1.000000	3.000000	37.000000	5.500000	2.000000	1.300000	1.000000
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1.000000	1.000000	37.500000	72.000000	30.000000	4.000000	3.000000	4.000000	1.000000	4.000000	4.000000	3.000000	2.000000	1.000000	0.000000	3.000000	5.000000	60.000000	6.800000	0.000000	0.000000	0.000000
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1.000000	1.000000	37.200000	40.000000	20.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	4.000000	1.000000	36.000000	62.000000	1.000000	1.000000	0.000000

测试数据：

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2	1	37.80	48	12	2	1	2	1	3	0	1	2	0	0	2	0	48.00	7.30	1	0	1
2	1	37.90	45	36	3	3	3	2	2	3	1	2	1	0	3	0	33.00	5.70	3	0	1
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1	1	0	140	0	0	0	4	2	5	4	4	1	1	0	0	5	30	69	0	0	0
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1	1	38.30	66	30	2	3	1	1	2	4	3	3	2	8.50	4	5	37.00	6.00	0	0	1
2	1	37.50	48	24	3	1	1	1	2	1	0	1	1	0	3	2	43.00	6.00	1	2.80	1
1	1	37.50	88	20	2	3	3	1	4	3	3	0	0	0	0	0	35.00	6.40	1	0	0
2	9	0	150	60	4	4	4	2	5	4	4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
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1	1	38.40	84	30	3	1	5	2	4	3	3	2	3	6.50	4	4	47.00	7.50	3	0	0
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1	1	0	0	0	3	1	1	1	2	3	3	1	3	6.00	4	4	0	0	2	0	0
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2	1	37.10	114	40	3	0	3	2	2	2	1	0	0	0	0	3	32.00	0	3	6.50	1
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