动态规划——寻找子矩阵最大和

 
 
 

  
  
  
  
最大和
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  难度：5
  描述
  给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 
  例子：
  0 -2 -7 0 
  9 2 -6 2 
  -4 1 -4 1 
  -1 8 0 -2 
  其最大子矩阵为：
  9 2 
  -4 1 
  -1 8 
  其元素总和为15。 
  输入
  第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；
  每组测试数据：
  第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；
  随后有r行，每行有c个整数；
  输出
  输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。
  样例输入
  1
  4 4
  0 -2 -7 0 
  9 2 -6 2 
  -4 1 -4 1 
  -1 8 0 -2 
  样例输出
  15

 
 
 

这道题初看有点复杂，是因为矩阵是二维形式。
回想一下，曾经对一维数组做过找出连续非空字串，使得该子序列之和最大。这里本质上也是要做同样的事情，只不过这里要找的是子矩阵。
有两个问题需要考虑。

第一，如何更简单地计算出一个子矩阵的和？


 
 
 

  
  
先考虑一维数列。我们存储的时候就不再单独存储每个位置的值是多少，而是存储从起始到该位置，所有元素之和是多少。所以，在数据录入的时候，就应该是num[i]+=num[i-1],这样，要计算从j到i的数据之和，直接num[i]-num[j-1]就能直接得出了。推广到二维的情况，实际上可以把每一列都当做一维数组，然后做同样处理。要求子矩阵之和时，可以把每一列都计算一次num[i]-num[j-1]，再累加起来就行了。

 
 

第二，如何遍历出所有可能的子矩阵？


 
 
 

  
  
这里可以使用三个变量i,j,k来遍历。如果一个矩阵大小是M*N的，那么可以使i从0到M，再使j从