BZOJ3244: [Noi2013]树的计数

最新推荐文章于 2019-07-04 22:58:56 发布

wxh010910

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wxh010910/article/details/54929757

本文介绍了一种计算给定DFS序和BFS序下所有可能的有根树的高度平均值的方法。通过分析DFS序和BFS序之间的关系，提出了一种有效算法来解决这个问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

我们知道一棵有根树可以进行深度优先遍历（DFS）以及广度优先遍历（BFS）来生成这棵树的DFS序以及BFS序。两棵不同的树的DFS序有可能相同，并且它们的BFS序也有可能相同，例如下面两棵树的DFS序都是1 2 4 5 3，BFS序都是1 2 3 4 5

现给定一个DFS序和BFS序，我们想要知道，符合条件的有根树中，树的高度的平均值。即，假如共有K棵不同的有根树具有这组DFS序和BFS序，且他们的高度分别是h1,h2,...,hk，那么请你输出
(h1+h2..+hk)/k

Input

有3行。
第一行包含1个正整数n，表示树的节点个数。
第二行包含n个正整数，是一个1~n的排列，表示树的DFS序。
第三行包含n个正整数，是一个1~n的排列，表示树的BFS序。
输入保证至少存在一棵树符合给定的两个序列。

Output

仅包含1个实数，四舍五入保留恰好三位小数，表示树高的平均值。

Sample Input

5
1 2 4 5 3
1 2 3 4 5

Sample Output

3.500

HINT

【评分方式】

如果输出文件的答案与标准输出的差不超过0.001，则将获得该测试点上的分数，否则不得分。

【数据规模和约定】

20%的测试数据，满足：n≤10；

40%的测试数据，满足：n≤100；

85%的测试数据，满足：n≤2000；

100%的测试数据，满足：2≤n≤200000。

【说明】

树的高度：一棵有根树如果只包含一个根节点，那么它的高度为1。否则，它的高度为根节点的所有子树的高度的最大值加1。

对于树中任意的三个节点a , b , c ，如果a, b都是c的儿子，则a, b在BFS序中和DFS序中的相对前后位置是一致的，即要么a都在b的前方，要么a都在b的后方。

Source

神题

首先把BFS变成1...n，然后对它按深度分层

设dfs序为a[i],pos[i]表示i在dfs序中的位置

第i层的深度为i,假设它包含[l,r]，那么有以下限制

第1层是1

pos[l]<pos[l+1]<pos[l+2]...pos[r]

dep[a[i+1]]<=dep[a[i]]+1（因为a[i+1]只可能是a[i]或者a[i]祖先的儿子）

这样不好计算，我们把分层点提取出来，记为x

如果i和i+1在同一层，则x[i]=1否则x[i]=0

那么之前的限制变成了

x[1]=1

if(pos[i]>pos[i+1]) x[i]=1

if(a[i]<a[i+1]) ∑(j = a[i] to a[i+1]-1) x[j]<=1

同时答案为∑x[i]+1

考虑如何计算期望

第一个限制和第二个限制确定了一定x[i]为1的

对于第三个限制，如果某一段已经出现了x[i]=1，那么其他一定全0，打上差分标记

可以证明，剩下的第三个限制中，x[i]未确定的只有0或者1个，那么期望为0.5

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 200020;

int a[MAXN], b[MAXN], pos[MAXN], x[MAXN], done[MAXN], s[MAXN], n, c[MAXN];

int main()
{
	scanf( "%d", &n );
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) scanf( "%d", &a[ i ] );
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) scanf( "%d", &b[ i ] ), c[ b[ i ] ] = i;
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) pos[ a[ i ] = c[ a[ i ] ] ] = i;
	x[ 1 ] = 1; done[ 1 ]++; done[ 2 ]--;
	for( int i = 1 ; i < n ; i++ ) if( pos[ i ] > pos[ i + 1 ] ) x[ i ] = 1, done[ i ]++, done[ i + 1 ]--;
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) s[ i ] = s[ i - 1 ] + x[ i ];
	for( int i = 1 ; i < n ; i++ ) if( a[ i ] < a[ i + 1 ] && s[ a[ i + 1 ] - 1 ] - s[ a[ i ] - 1 ] )
		done[ a[ i ] ]++, done[ a[ i + 1 ] ]--;
	double ans = 1;
	int c = 0;
	for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
	{
		c += done[ i ];
		if( c ) ans += x[ i ];
		else ans += 0.5;
	}
	printf( "%.3lf\n%.3lf\n%.3lf\n", ans - 0.001, ans, ans + 0.001 );
}