标量、向量、矩阵求导

最新推荐文章于 2023-02-19 01:08:23 发布

wx_blue_pig

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分类专栏：机器学习

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wx_blue_pig/article/details/79794711

本文详细介绍了标量、向量及矩阵在微分学中的应用，涵盖标量对向量、标量对矩阵、向量对向量的求导规则，以及向量内积对向量的求导。通过实例解析了不同类型的变量之间的求导转化，为理解和应用微分计算提供清晰指导。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

0、符号说明

本文会用到的几个量：
标量： $\rm c$
向量： $n$ 维列向量 $\boldsymbol x$ ， $m$ 维行向量 $\boldsymbol y^T$

x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

$\boldsymbol x= \left(\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix}\right)$

y T = (y 1, y 2 \dots y m)

$\boldsymbol y^T=(y_1, y_2\cdots y_m)$
矩阵：

m×n m × n $m\times n$ 阶矩阵

A A $\boldsymbol A$

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 \dots \dots ⋱ \dots a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\boldsymbol A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{matrix} \right]$

1、标量与向量之间的求导

1.1 标量对列向量

d c d x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ d c d x 1 d c d x 2 ⋮ d c d x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (1)

$\frac{d\rm c}{d\boldsymbol x}= \left(\begin{matrix} \frac {d\rm c}{dx_1}\\ \frac {d\rm c}{dx_2}\\ \vdots\\ \frac {d\rm c}{dx_n}\\ \end{matrix}\right)\tag 1$

1.2 标量对行向量

d c d y T = (d c d y 1, d c d y 2 \dots d c d y m) (2)

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