Leetcode 118. 杨辉三角

最新推荐文章于 2024-07-27 19:43:02 发布
原创 最新推荐文章于 2024-07-27 19:43:02 发布 · 83 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文介绍了一种使用C++编程语言生成杨辉三角的算法。通过一个类Solution的generate方法，实现了根据输入的非负整数numRows，生成指定行数的杨辉三角。该方法首先创建一个二维向量res用于存储结果，然后通过两层循环填充每一行的元素，其中内层循环计算每个元素为上一行对应位置两个元素之和。

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。

在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例:

输入: 5
输出:
[
     [1],
    [1,1],
   [1,2,1],
  [1,3,3,1],
 [1,4,6,4,1]
]

 

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) 
    {
        vector<vector<int>> res;
        for(int i=0;i<numRows;i++)
        {
            vector<int> array(i+1,1);
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                array[j] = res[i-1][j-1]+res[i-1][j];
            }
            res.push_back(array);
        }
        return res;
    }
};

 

Leetcode No.118 杨辉三角（动态规划）
02-27 620
一、题目描述 给定一个非负整数numRows，生成杨辉三角的前numRows行。 在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例: 输入: 5 输出: [ [1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1] ] 二、解题思路 杨辉三角具有以下性质： 1、每行数字左右对称，由 1开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。 2、每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n行的第 i个数等于...
巴斯卡三角形
06-09
纯C语言编写 的巴斯卡三角形模型，类似于金字塔模型
经典算法大全51例——3.杨辉三角（又称帕斯卡三角形）
g55zhw93的博客
09-06 4260
经典算法大全51例——3.帕斯卡三角形（又称杨辉三角）算法目录合集地址说明题目原理分析代码实现——Java方式一方式二相关题目其他变形：1.爬楼梯（来源：力扣LeetCode）2.兔子成熟期拉长官方题解代码——C语言拓展1.黄金矩形2.等角螺线3.设计 算法目录合集 地址    算法目录合集 说明   该地址指向所有由本人自己所经历的算法习题(也有可能仅仅是一个入门的案例或者是经典案例)，仅仅为我做过而且比较有意思的，也许还会有一些我自己想出来的，出于兴趣写在这里,具体格式我会在下面列明，总目录也会在这里出
杨辉三角（帕斯卡三角）算法demo
08-19
杨辉三角（帕斯卡三角）算法demo
leetcode之Pascal's Triangle（118）
cuicheng01的博客
07-26 271
题目： 给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。 在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例: 输入: 5 输出: [ [1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1] ] python代码： class Solution: def generate(self...
118、杨辉三角
HesseSummer的博客
08-02 511
一、题目描述 略 二、思路分析 题目让返回一个二维vector数组，数组存储着杨辉三角。 只要根据杨辉三角形的特征生成即可。 也就是： 行数：numRows；列数：对应行数+1； 每行第一个最后一个是1，其他的由上一行的某两个数生成。 三、代码呈现 class Solution { public: vector&lt;vector&lt;int&gt;&gt; gene...
LeetCode 118.杨辉三角 C++写法
m0_63816268的博客
07-27 393
我们使用vector来进行解答，该题规律简单，观察一下就可以发现，。难一点的是数据存储方式，C语言需要用到，C++需要用到。如图所示，vector返回的是，vector返回的才是，我们要访问具体数据时，也需要用到访问二维数组的方法，如:a[i][j]，。与C语言不同的是，C语言是对，vector是对。
just1296#leetcode#118.杨辉三角1
07-25
示例:输入: 5输出:链接：。List<I
Leetcode 119. 杨辉三角 II
我不是码农的博客~~~
07-30 259
给定一个非负索引rowIndex，返回「杨辉三角」的第rowIndex行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
118杨辉三角
qq_36733990的博客
06-03 251
class Solution: def generate(self, numRows: int) -> List[List[int]]: res = [[] for i in range(numRows)] for i in range(numRows): res[i] = [1]*(i+1) for j in range(1,i): res[i][j] = res[i-1][j-1] + ...
118. 杨辉三角
LIsaWinLee的博客
03-14 472
难度：简单 题目描述： 给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。 在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例 1: 输入: numRows = 5 输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]] 示例 2: 输入: numRows = 1 输出: [[1]] 解题思路： 根据杨辉三角的数学计算方法，列举二维列表来进行存储。 Java程序： class Solution { public List<
118.杨辉三角
LuminousWand的博客
02-15 549
题目描述 分析 数学法 利用杨辉三角的生成公式，数值等于其两肩数值之和。即可求解 /** * Return an array of arrays of size *returnSize. * The sizes of the arrays are returned as *returnColumnSizes array. * Note: Both returned array and *columnSizes array must be malloced, assume caller calls f
118. 杨辉三角（JavaScript）
romeo12334的博客
07-28 521
给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。 在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例: 输入: 5 输出: [ [1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1] ] 思路： 计算每一行，然后把每一行加入到结果数组里面。 第一行只有一个1；第二行有两个；从第三行开始，先加...
leetcod118.杨辉三角有几种解法
最新发布
06-19
<think>我们正在分析LeetCode118题“杨辉三角”的多种解法，并分析每种解法的时间复杂度和空间复杂度（使用C++实现）。根据引用内容，我们已知：1.引用[1]指出时间复杂度为$O(numRows^2)$，空间复杂度为$O(n)$（但这里空间复杂度可能有误，因为杨辉三角需要存储整个二维数组，所以空间复杂度应该是$O(n^2)$）。2.引用[2][3][4]的代码实现都是使用二维数组，并明确时间和空间复杂度为$O(n^2)$（其中n是行数）。3.引用[5]是杨辉三角II（只返回第k行），但本题要求生成整个三角。题目要求：生成一个numRows行的杨辉三角。杨辉三角的性质：-第i行（从0开始）有i+1个数。-每行的第一个和最后一个数都是1。-对于中间的元素，满足：triangle[i][j]=triangle[i-1][j-1]+triangle[i-1][j]我们将介绍三种常见解法，并分析复杂度：解法一：动态规划（二维数组法）——即用户提供的代码-描述：使用二维数组存储每一行，按照杨辉三角的递推关系填充。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为需要填充$n$行，且第i行有$i$个元素（不包括首尾固定为1的元素，但整体操作次数为$\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（杨辉三角的所有元素）。解法二：动态规划（一维数组滚动更新）——优化空间复杂度-描述：我们注意到，计算第i行时，只需要第i-1行的数据。因此，我们可以只维护一个一维数组（上一行），然后不断更新当前行，并将当前行保存到结果中。-但是，由于题目要求返回整个杨辉三角（所有行），所以我们必须存储每一行，因此空间复杂度无法优化到$O(n)$以下（至少需要$O(n^2)$存储结果）。所以这种方法在空间复杂度上并没有优化（结果空间是必须的）。-注意：如果题目像119题（杨辉三角II）一样只要求返回第k行，那么我们可以用$O(k)$的空间完成。但本题要求返回所有行，所以空间复杂度必然为$O(n^2)$。解法三：数学公式法（组合数）-描述：杨辉三角的第i行第j列（行列均从0开始）的值为组合数$C(i,j)$。因此，我们可以直接计算每个位置的值。-公式：$C(i,j)=\frac{i!}{j!\cdot(i-j)!}$，但是直接计算阶乘可能会导致溢出，而且计算阶乘的时间复杂度较高。-优化计算：我们可以用递推关系计算组合数：$C(i,j)=C(i,j-1)\times(i-j+1)/j$，这样避免阶乘。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为要计算$n$行，每行最多$n$个元素，每个元素需要常数时间计算（递推关系）。-空间复杂度：$O(n^2)$（存储整个结果）。但是，解法三在实现时需要注意：-由于整数除法可能产生小数，但组合数一定是整数。因此，在递推计算中，我们可以保证整除（因为每一步都是整数乘法再除以整数，且能整除）。-然而，在C++中，整数除法在整除时是安全的，但要注意乘法可能溢出（使用`int`可能不够，但题目没有指定范围，通常numRows较小，如不超过30，则不会溢出）。然而，引用[2][3][4]都采用了二维数组的动态规划方法，这是最常见且易于理解的。因此，我们总结：-解法一（二维数组动态规划）是最直接的方法。-解法二（滚动数组）在本题中并不能降低空间复杂度（因为需要返回所有行），但在只要求输出一行时有效（如119题）。-解法三（组合数）在数学上直接，但实际实现可能不如动态规划简单，且可能有溢出问题。所以，在LeetCode118题中，通常采用解法一。现在，我们分析用户提供的代码（即解法一）：-代码逻辑：vector<vector<int>>res(numRows);//创建有numRows行的二维vectorfor(inti=0;i<numRows;i++){res[i].resize(i+1,0);//每行调整大小为i+1，并初始化为0res[i][0]=res[i][i]=1;//首尾置1}for(inti=2;i<numRows;i++){//从第三行（下标2）开始for(intj=1;j<i;j++){res[i][j]=res[i-1][j-1]+res[i-1][j];//递推关系}}-时间复杂度：$O(n^2)$。外层循环执行了$n-2$次（从2到n-1），内层循环对于第i行执行了$i-1$次。所以总操作次数为$\sum_{i=2}^{n-1}(i-1)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}\inO(n^2)$。另外，初始化部分循环了$n$行，每行初始化时间为$O(i)$（resize操作），初始化总时间也是$O(n^2)$。因此整体是$O(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（结果），数组总元素数为$\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。引用[1]中提到的空间复杂度为$O(n)$，这可能是错误的，因为结果需要$O(n^2)$空间。除非引用[1]只计算了额外辅助空间（但题目要求返回结果，结果空间通常计入空间复杂度），所以这里我们认为是$O(n^2)$。引用[4]明确指出时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。因此，用户提供的代码的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$。下面我们给出三种解法的C++代码示例（但注意解法二在本题中空间复杂度无法优化，所以我们只给出解法和分析，代码实现与解法一类似，因为必须存储每一行）。解法一：动态规划（二维数组）——用户代码，已给出解法二：动态规划（滚动数组，但用于生成每一行）——注意，由于需要保存每一行，所以空间复杂度不变，但可以节省中间计算时的额外空间（实际上解法一也不需要额外空间，因为直接使用上一行已经计算好的结果）。所以解法二的代码与解法一几乎一样，只是内层循环从后往前计算可以避免覆盖，但本题中我们不需要覆盖，因为要保存所有行。所以解法二在本题中不适用（或者没有优势）。解法三：组合数（递推计算）-代码示例：vector<vector<int>>generate(intnumRows){vector<vector<int>>res;for(inti=0;i<numRows;i++){vector<int>row(i+1);row[0]=1;//第一个元素为1//利用组合数递推关系：C(i,j)=C(i,j-1)*(i-j+1)/jfor(intj=1;j<=i;j++){//注意：这里用乘法递推，注意顺序和整数除法row[j]=(long)row[j-1]*(i-j+1)/j;}res.push_back(row);}returnres;}-注意：乘法可能会溢出，所以我们使用`long`转换。但题目中numRows一般不会太大（比如不超过30），所以不会溢出。-复杂度：同样$O(n^2)$时间和$O(n^2)$空间。总结：LeetCode118题主要有两种有效解法：动态规划（递推）和组合数法，时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。相关问题：1.如果只需要返回杨辉三角的第k行（LeetCode119题），如何优化空间复杂度到$O(k)$？2.杨辉三角在组合数学中有哪些应用？例如，如何利用杨辉三角计算二项式展开的系数？3.杨辉三角与斐波那契数列之间有什么联系？</think>### LeetCode 118 杨辉三角：解法、时间与空间复杂度分析（C++） #### 一、题目要求 生成 `numRows` 行的杨辉三角，每个数是其左上方和右上方数的和。 示例： 输入：`numRows = 5` 输出： ``` [[1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1]] ``` --- #### 二、三种解法及复杂度分析 ##### 解法一：动态规划（二维数组）— **最优推荐** ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res(numRows); for (int i = 0; i < numRows; i++) { res[i].resize(i + 1, 0); // 初始化当前行 res[i][0] = res[i][i] = 1; // 边界置1 for (int j = 1; j < i; j++) { // 填充中间元素 res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j]; } } return res; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^2)$ 需要填充 $\sum_{i=0}^{n-1} (i+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ 个元素，属于平方级增长[^4]。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$ 存储整个杨辉三角，元素总数 $\frac{n(n+1)}{2}$[^3]。 ##### 解法二：组合数公式（数学法） ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res; for (int i = 0; i < numRows; i++) { vector<int> row; for (int j = 0; j <= i; j++) { row.push_back(combination(i, j)); // 计算组合数C(i,j) } res.push_back(row); } return res; } private: int combination(int n, int k) { long res = 1; // 避免乘法溢出 for (int i = 1; i <= k; i++) { res = res * (n - i + 1) / i; // 递推公式 } return (int)res; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^3)$ 计算每个元素 $C(i,j)$ 需 $O(j)$ 时间，总操作数 $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i} j = O(n^3)$。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果）。 ##### 解法三：递归（不推荐） ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { if (numRows == 1) return {{1}}; vector<vector<int>> prev = generate(numRows - 1); vector<int> newRow(numRows, 1); for (int j = 1; j < numRows - 1; j++) { newRow[j] = prev.back()[j - 1] + prev.back()[j]; } prev.push_back(newRow); return prev; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^2)$ 递归深度 $O(n)$，每层计算量 $O(n)$。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果 + 递归栈 $O(n)$）。 --- #### 三、复杂度对比总结 | 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |--------------|------------|------------|------------------| | 动态规划 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 最优解，代码简洁 | | 组合数公式 | $O(n^3)$ | $O(n^2)$ | 数学理论验证 | | 递归 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 教学演示 | > **推荐解法**：动态规划（解法一）是标准解法，时间/空间复杂度已达理论最优[^4]。 --- #### 四、杨辉三角的性质与应用 1. **性质**： - 第 $n$ 行第 $k$ 个元素为组合数 $C(n,k)$[^2]。 - 对称性：$C(n,k) = C(n, n-k)$。 2. **应用**： - 计算二项式展开系数：$(a+b)^n$ 的系数即第 $n$ 行[^2]。 - 概率论：二项分布的概率计算。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值