解题笔记（36）——最大公约数问题

最新推荐文章于 2020-06-08 20:31:04 发布

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#算法 #编程

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这篇博客探讨了如何使用辗转相除法和辗转相减法解决最大公约数问题，重点在于减少迭代次数。通过分析x和y的关系，当y=k*y1, x=k*x1时，最大公约数可以简化为k*f(x1, y1)。此外，若x=p*x1，p为素数且y不能被p整除，则f(x, y)=f(x1, y)。文章提供了参考代码实现。" 112165170,10543131,HUSKYLENS巡线教程：麦昆plus视觉识别循轨驾驶,"['Python', '视觉识别', '机器人', '传感器', 'HUSKYLENS']

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问题描述：求两个正整数的最大公约数。

思路：这是一个很基本的问题，最常见的就是两种方法，辗转相除法和辗转相减法。通式分别为 f(x, y) = f(y, x%y), f(x, y) = f(y, x - y) (x >=y > 0)。根据通式写出算法不难，这里就不给出了。这里给出《编程之美》上的算法，主要是为了减少迭代的次数。

对于x和y，如果y = k * y1, x= k * x1，那么f(x, y) = k * f(x1, y1)。另外，如果x = p * x1，假设p为素数，并且y % p != 0，那么f(x, y) = f(p * x1, y) = f(x1, y)。取p = 2。

参考代码：

//函数功能: 求最大公约数
//函数参数: x,y为两个数
//返回值:   最大公约数
int gcd_solution1(int x, int y)
{
	if(y == 0)
		return x;
	else if(x < y)
		return gcd_solution1(y, x);
	else
	{
		if(x&1) //x是奇数
		{
			if(y&1) //y是奇数
				return gcd_solution1(y, x-y);
			else    //y是偶数
				return gcd_solution1(x, y>>1);
		}
		else //x是偶数
		{
			if(y&1) //y是奇数
				return gcd_solution1(x>>1, y);
			else    //y是偶数
				return gcd_solution1(x>>1, y>>1) << 1;
		}
	}
}

下面非递归版本：

int gcd_solution2(int x, int y)
{
	int result = 1;
	while(y)
	{
		int t = x;
		if(x&1)
		{
			if(y&1)
			{
				x = y;
				y = t % y;
			}
			else
				y >>= 1;
		}
		else
		{
			if(y&1)
				x >>= 1;
			else
			{
				x >>= 1;
				y >>= 1;
				result <<= 1;
			}
		}
	}
	return result * x;
}