Binary Search（一）

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提起二分查找，许多人都会想：这是一个简单问题，我只用一个while或者递归就能解决，三行代码最多。再把上下限背过，就没有什么能难得住的二分查找问题了。但事实究竟是这样吗？
我们一起从头看一遍二分查找，其中穿插各个OJ的二分查找问题，同时时不时的我们会加入算法导论中对于这个问题的引申。
##什么是二分查找？
二进制搜索是计算机科学中最基本和最有用的算法之一。 它描述了在有序集合中搜索特定值的过程。我们需要对二进制搜索中的名词赋予一个简单的定义：

target - 要搜索的值
index - 搜索的当前位置
left ，right - 我们用来维持搜索空间的指标
mid- 用来应用条件来确定我们是应该向左还是向右搜索的索引
##二分查找的过程
　　在二分查找的基本形式中，二分搜索在具有指定左右索引的连续序列（搜索空间）上运行。维护搜索空间的左，右和中间标记，并比较搜索目标; 如果条件不满足或者值不相等，则消除目标不可能存在的一半（有序序列），并继续搜索剩下的一半，直到成功为止。 如果搜索以空的数字集合部分结束，则无法满足条件并且未找到目标。
给定n个元素的排序（按升序排列）整数数组nums和目标值，编写一个函数来搜索nums中的目标。 如果target存在，则返回其索引，否则返回-1
Leetcode Binary Search
此代码只有 34.4% 为AC，甚至低于许多高级算法！

 class Solution {
 public:
 int search(vector<int>& nums, int target) {
     if(nums.size() == 0)return -1;
        int left =0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left<=right){
           int mid = (left+right) >>1;
            if(nums[mid]<target)left = mid+1;
            else if(nums[mid]>target)right =mid-1;
            else return mid;
        }return -1;
    }
    };

算法的应用

由于二进制搜索是一种算法，在每次比较后将搜索空间划分为2。 所以每次需要搜索集合中的索引或元素时，都应考虑二进制搜索。 如果集合是无序的，我们可以在应用二进制搜索之前对其进行排序¹。

总的来说，我们可以将此部分分为：

Markdown画图，冒号后面必须空一格，不然报错。我的天呐。对萌新一点都不友好。

我们总希望能够研究的二分查找问题越多越好，虽然我们拥有的思路相同，但每次我们查看不同大佬代码时，它的实现似乎都略有不同。 尽管每个实现在每个步骤中将问题空间划分为1/2，但其中一个有许多问题：

1. 为什么它的实现略有不同？
2. 大佬在想什么？
3. 哪种方式更容易？
4. 哪种方式更好？

###经过多次失败的尝试，和资料的阅读查找，附上几个二分查找的主要模板，并且附上几个相似的例子。

1、同上面的基本算法相同的写法，我们的谭浩强、严蔚敏老师就是这么教我们的

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
  if(nums.size() == 0)
    return -1;
	int left = 0;
	int right = nums.size() - 1;
  while(left <= right){
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if(nums[mid] == target){ return mid; }
    else if(nums[mid] < target) { left = mid + 1; }
    else { right = mid - 1; }
  }
  return -1;
}

1. 初始条件： left = 0, right = length-1（数组终点下标）
2. 终止条件： left > right
3. 查找左搜索区间：right = mid -1
4. 查找右搜索区间：left = mid+1

Ex1:计算并返回x的平方根，其中x保证为非负整数。

由于返回类型是整数，因此将截断十进制数字，并仅返回结果的整数部分。

循环体中的判断条件 if(x/mid >= mid) 若为乘法if(mid*mid <=x)时会**TLE**，感兴趣的话可以查阅相关资料。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x <2)return x;
        int left = 0;
        int right = x ;
        while(left< right){
            int mid = (right + left) /2;
            if (x/mid >= mid) left = mid+1;
            else right = mid;
        }return right-1;
        
    }           
};

当然我写完了我的代码后也会出来看神仙：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
    long r = x;
    while (r*r > x)
        r = (r + x/r) / 2;
    return r;

啧啧啧。由于此思路与本文主体无关，但既然看到了神仙，我们刚还在说要揣摩大佬的思路，所以特放在附录里²。

值得注意的是，上述方法当输入为
但是一个题目的办法多种多样，除了上面的两个，比如还有Shifting nth root algorithm³

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        res = 0
        bit = 1 << 30
         while bit > x:
            bit >>= 2
                while bit != 0:
            if x >= res + bit:
                x -= res + bit
                res += bit << 1               
            res >>= 1
            bit >>= 2
        return res

言归正传，我们能够看到二分查找用途广且方便计算。现在我们来分析一下二分查找的时间复杂度（讨论非递归情况，递归方式见⁴）。
　　（原谅我递归方式 C语言版原谅我在wiki上直接粘了一个，就是这个↓）

int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
	if (start > end)
		return -1;
	int mid = start + (end - start) / 2;    //直接平均可能會溢位，所以用此算法
	if (arr[mid] > khey)
		return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);
	else if (arr[mid] < khey)
		return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);
	else
	    return mid;        //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
}

易得 $T(n)=(n/2)+1$ 由主方法知 $n^{lo{g}_{2}1}=1$，由于$h(n)=\Theta (n^{lo{g}_{2}1})=\Theta (1)$ 考虑第二种情况：$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)$，则$T(n)=\Theta (lo{g}_{2}n)$ ⁵

Ex2:Guess Number Higher or Lower

我们正在玩猜数字游戏。 游戏如下：
我从1到n中选择一个数字。 你猜测我选择了哪个号码。每次你猜错了，我都会告诉你这个数字是高还是低。可调用预定义的API guess（int num），它返回3个可能的结果（-1,1或0）

class Solution {
public:
    int guessNumber(int n) {
        int left = 0;
        int right = n;
        if( n<2) return n;
        while(left<=right){
            int mid = left+(right-left)/2;//否则overflow会导致超时，其他需转换。API传入值为int。
            if (guess(mid) == 0){
                return mid;
           }else if (guess(mid)==-1){
                right = mid-1;
            }
            else  left = mid +1;
        }return -1;
    }
};

没有工作量，多调一个API而已。

---

1. 有关排序的算法见（暂空）。 ↩︎

2. 此为牛顿法:
   设$r$是$f(x)=0$的根，选取$x_0$作为$r$初始近似值，过点$(x_0,f(x_0))$做曲线$y=f(x)$的切线$L$，$L$的方程为$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，求出$L$与$x$轴交点的横坐标 $x_1=\frac{x_0-f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$，称$x_1$为$r$的一次近似值。
   过点$(x1,f(x1))$做曲线$y=f(x)$的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 $x_2=\frac{x_1-f(x1)}{f^{\prime }(x1)}$，称$x_2$为$r$的二次近似值。重复以上过程，得$r$的近似值序列，其中$x(n+1)=x(n)－\frac{f(x(n))}{f^{\prime }(x(n))}$, 称为$r$的$n+1$次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

   ↩︎

3. Shifting nth root algorithm:
   除了en_wiki，好像没有太细致的中文讲解，见我的另一篇blog吧。

   ↩︎

4. 复杂度分析见. ↩︎

5. 有关于如何求算法的$\Omega ，\Theta ，O，\omega ，o$请参考另一篇blog。 ↩︎