【转载】最近公共祖先LCA:RMQ转化

最近公共祖先LCA:RMQ转化

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1,最近公共祖先(LCA):
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。
2,LCA问题向RMQ问题的转化方法:(RMQ返回最值的下标)
对树进行深度优先遍历，每当“进入”或回溯到某个结点时，将这个结点的深度存入数组dfsNum最后一位。同时记录结点i在数组中第一次出现的位置(事实上就是进入结点i时记录的位置)，记做first[i]。如果结点dfsNum[i]的深度记做depth[i]，易见，这时求LCA(u,v)，就等价于求 E[RMQ(depth,first[u],first[v])]，(first[u]<first[v])。
例如:



(深度遍历)difNum[i]为：1,2,1,3,4,3,5,3,1
first[i]为：0,1,3,4,6
(个点对应的深度)depth[i]为：0,1,0,1,2,1,2,1,0

于是有：
LCA(4,2) = difNum[RMQ(D,first[2],first[4])] = difNum[RMQ(D,1,6)] = difNum[2] = 1

转化后得到的数列长度为树的结点数*2-1（每经过一条边，都会记录端点，有N-1条边，所以会回溯N-1次。且每个顶点都会被添加一次，所以长度为2N-1）

3,实例代码:

Cpp代码  

1. #include<iostream>  
2. #include<vector>  
3. #include<cmath>  
4. #include<algorithm>  
5. using namespace std;  
6.   
7. const int maxn=20010;  
8.   
9. struct node //可以添加额外的信息  
10. {  
11.     int v;//孩子结点  
12. };  
13.   
14. //注意vector在树问题中的使用  
15. vector<node> tree[maxn];  
16.   
17. int dfsnum[maxn]; //记录遍历的节点  
18. int depth[maxn]; //记录节点对应的深度  
19. int first[maxn]; //记录结点第一次访问到时的下标  
20. int top; //记录总的步伐数  
21.   
22. void dfs(int m,int f,int dep) //当前节点编号,父节点编号,深度  
23. {  
24.     dfsnum[top]=m;  
25.     depth[top]=dep;  
26.     first[m]=top;  
27.     top++;  
28.     for(unsigned i=0;i<tree[m].size();i++)  
29.     {  
30.         if(tree[m][i].v==f)  
31.             continue;  
32.         dfs(tree[m][i].v,m,dep+1);  
33.         dfsnum[top]=m; //注:每条边回溯一次,所以top的值=n+n-1  
34.         depth[top]=dep;  
35.         top++;  
36.     }  
37. }  
38.   
39. int dp[maxn][18];  
40. void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值对应的下标  
41. {  
42.     int i,j;  
43.     for(i=0;i<n;i++)  
44.         dp[i][0]=i;  
45.     for(j=1;(1<<j)<=n;j++)  
46.         for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)  
47.             dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];  
48. }  
49. int rmqIndex(int s,int v,int b[])  
50. {  
51.     int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));  
52.     return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];  
53. }  
54.   
55. int lca(int x,int y)  
56. {  
57.     return dfsnum[rmqIndex(first[x],first[y],depth)];  
58. }  
59.   
60. int main()  
61. {  
62.     int n=5;//顶点数  
63.     top=0;  
64.     //分别存放每条边的端点  
65.     int x[]={1,1,3,3};  
66.     int y[]={2,3,4,5};  
67.     node temp;  
68.     for(int i=0;i<n-1;i++) //n-1条边  
69.     {  
70.         temp.v=y[i];  
71.         tree[x[i]].push_back(temp);  
72.         temp.v=x[i];  
73.         tree[y[i]].push_back(temp);  
74.     }  
75.     dfs(1,-1,0); //根节点为1  
76.     cout<<"总数:"<<top<<endl;  
77.     makeRmqIndex(top,depth);  
78.     cout<<"dfsnum:";  
79.     for(int i=0;i<top;i++)  
80.     {  
81.         cout<<dfsnum[i]<<" ";  
82.     }  
83.     cout<<endl;  
84.     cout<<"depth:";  
85.     for(int i=0;i<top;i++)  
86.     {  
87.         cout<<depth[i]<<" ";  
88.     }  
89.     cout<<endl;  
90.     cout<<"first:";  
91.     for(int i=1;i<=n;i++)  
92.     {  
93.         cout<<first[i]<<" ";  
94.     }  
95.     cout<<endl;  
96.     cout<<"lca(4,5):"<<lca(4,5)<<endl;  
97.     cout<<"lca(2,4):"<<lca(2,4)<<endl;  
98.     cout<<"lca(1,4):"<<lca(1,4)<<endl;  
99.     return 0;  
100. }