poj3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick（2 SAT）

最新推荐文章于 2019-08-13 17:32:00 发布

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#2-SAT

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本文探讨了一个经典的2-SAT问题实例——在平面上的圆周上放置若干点，并尝试通过圆内外连线的方式使得任意两条连线不相交。文章详细介绍了如何将此问题转化为2-SAT问题并通过Tarjan算法进行求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：
平面上有一个圆，圆的边上按顺时针放着n个点
现在要连m条边(a,b)，a到b可以从圆的内部连接，也可以从圆的外部连接
信息中，每个点最多只会连接的一条边，问能不能连接这m条边，使这些边都不相交

分析：
经典的2_SAT问题

建图：对于一条边i，在圆内记为i，在圆外记为i’。

设边 $i$ 连接点 $A,B$ ，边 $j$ 连接点 $C,D$
$i$ 与 $j$ 在圆内是否相交就是线段 $AB$ 与线段 $CD$ 是否相交
可以证明，如果 $i$ 与 $j$ 在圆内不能共存，则在圆外也一定不能共存，即：
$i$ 在圆内，则 $j$ 一定在圆外，建边 $i->j'$
$i$ 在圆外，则 $j$ 一定在圆内，建边 $i'->j$
$j$ 在圆内，则 $i$ 一定在圆外，建边 $j->i'$
$j$ 在圆外，则 $i$ 一定在圆内，建边 $j'->i$

因为只是判定性问题，所以一遍tarjan缩点判断冲突的点是不是在一个scc中即可

摘录一点dada的言论，方便理解：

不要急，请先达成一点共识：
1. 如果很多节点已经处在一个强连通分量内了，也就是它们两两均可互达了，那么意味着选择了其中的一个，整个强连通分量都将被选择，如果不选择其中的一个，那么整个强连通分量内都不能够被选择
2. 如果一个集合的两个元素处在了同一个强连通分量内，也就是说要么都不选，要么都被选，那么题目要求的选出一个就一定无法成立了
3. 题中不管给出哪两个不能同时选，都不能改变我们连的边都是对称的这一事实，只要A到B有边，那么B的对立节点到A的对立节点就有边
4. 边的对称意味着图的对称，原图的对称意味着哪怕用强连通分量缩点后的图一样对称，所以对立节点的概念也可以应用在强连通分量上
5. 为了叙述方便，以下简称强连通分量为块，注意：真正的块指的是点双连通分量，这里只是一种形象化的表述，是不规则的！

tip

2_SAT第一题，就当是临阵磨枪，临时抱佛脚吧

把空间算好了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N=2010;
struct node{
    int x,y,nxt;
};
node way[500010];
int st[N],tot=0,n,m,x[N],y[N];

int jiao(int a,int b) {
    if (x[a]<=x[b]&&x[b]<=y[a]&&y[b]>=y[a]) return 1;
    if (x[b]<=x[a]&&x[a]<=y[b]&&y[a]>=y[b]) return 1;
    return 0;
}

void add(int u,int w) {
    tot++;way[tot].x=u;way[tot].y=w;way[tot].nxt=st[u];st[u]=tot;
}

int dfn[N],low[N],clo=0,cnt=0,belong[N],S[N],top=0;
bool vis[N];

void tarjan(int now) {
    S[++top]=now;
    dfn[now]=low[now]=++clo;
    vis[now]=1;
    for (int i=st[now];i;i=way[i].nxt)
        if (!dfn[way[i].y]) {
            tarjan(way[i].y);
            low[now]=min(low[now],low[way[i].y]);
        }
        else if (vis[way[i].y]) 
            low[now]=min(low[now],dfn[way[i].y]);
    if (low[now]==dfn[now]) {
        cnt++;
        int x=0;
        while (x!=now) {
            x=S[top--];
            vis[x]=0;
            belong[x]=cnt;
        }
    }
}

bool solve() {
    for (int i=1;i<=m;i++)
        if (!dfn[i])
            tarjan(i);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        if (belong[i]==belong[i+m]) return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
        if (x[i]>y[i]) swap(x[i],y[i]);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=i+1;j<=m;j++) 
            if (jiao(i,j)) {
                add(i,j+m); add(j,i+m);
                add(j+m,i); add(i+m,j);
            } 
    if (solve()) printf("panda is telling the truth...\n");
    else printf("the evil panda is lying again\n");
    return 0;
}