bzoj2688 Green Hackenbush（博弈+概率dp）

最新推荐文章于 2019-08-24 18:40:18 发布

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#dp #博弈 #概率

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本文详细解析了一款基于树结构的博弈游戏算法，通过计算不同形态的二叉树及其子树的SG值来确定游戏的胜负概率。文章介绍了Catalan数的应用以及如何通过动态规划求解每棵树可能的异或值概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有一个古老的游戏叫做Green Hackenbush，游戏是这样进行的：两个人轮流在一棵树上删边，每次删边后不与根联通的子树直接被ignore，不能删边的游戏者输。Alice和Bob也在玩这个游戏，不过他们面对的是n棵树，第i棵树是含有a[i]个节点的二叉树。先手的Alice想知道自己有多大的概率获胜(假设我们的Alice和Bob同学都是无限聪明的)。

Input

第一行一个数n。

接下来每行一个数a[i]。

Output

一个保留6位小数的实数ans。

Sample Input

1

2

Sample Output

1.000000

HINT

对于100%的数据，n<=100，a[i]<=100

Source

CodeCraft09

[ Submit][ Status][ Discuss]

分析：
经典博弈：树上删边游戏
结点的SG值为（ ta的所有子节点的SG值加1）的异或和
那么对于一片森林来说，Nim和就是所有树的异或和
如果Nim和为0，那么先手必败，否则先手必胜

但是现在我们不知道树的形态（只知道是二叉树），所以这里就需要概率帮忙了
我们考虑一棵 $n$ 个节点的二叉树有多少种形态，左右子树分开考虑

$h[n]=\sum_{i=0}^{n-1} h[i]*h[n-1-i]$

对Catalan数熟悉的同学就可以看出，结点个数为n的不同形态二叉树个数为 $Catalan(n)$

$C(n+1)={4n+2 \over n+2}C(n)$

$f[i][j]$ 表示一棵 $i$ 节点的二叉树，异或值为 $j$ 的概率
还是需要利用左右子树分开考虑来做

$f[n][(x+1)xor(y+1)]=\sum_{i=0}^{n-1}(h[i]*f[i][x])*(h[n-1-i]*f[n-1-i][y])$
$h[i]*f[i][x]$ ： $i$ 个结点的子树的形态个数为 $h[i]$
最后： $f[n][i]/=h[n]$

$g[i][j]$ 表示的是前 $i$ 棵子树异或值为 $j$ 的概率

$g[i][j(xor)k]=g[i-1][j]*f[a[i]][k]$

最后的答案就是 $1-f[n][0]$

tip

卡特兰数太大了会不会炸掉啊
但其实用double做的话是没什么问题的= =
好像是因为浮点数什么神奇的运算？

注意只有一个子结点的情况：

for (int j=0;j<=127;j++) f[i][j+1]+=2.0*h[i-1]*f[i-1][j];

子树的大小为i-1，子数的SG值为j： $f[i-1][j]$
大小为i-1的二叉树形态个数为 $h[i-1]$ ， $*2$ ：到底是左子树还是右子树
那么根结点的SG值就等于 $j+1$

100个结点，最大的异或值为127

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N=130;
const int Max=127;     //最大异或值 
int n,a[N];
double f[N][N],g[N][N],h[N];

int main()
{
    int mx=0;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mx=max(mx,a[i]);

    h[0]=1.0; h[1]=1.0; h[2]=2.0;
    for (int i=3;i<=127;i++)
        for (int j=0;j<i;j++)
            h[i]+=h[j]*h[i-j-1];        //Catalan数递推式 

    f[1][0]=1.0;                        //一个结点的SG值为0 
    for (int i=2;i<=mx;i++) {
        for (int j=0;j<=127;j++) f[i][j+1]+=2.0*h[i-1]*f[i-1][j];    //只有一个子结点 
        for (int j=1;j<i-1;j++)         //左子树大小 
            for (int x=0;x<=127;x++)
                for (int y=0;y<=127;y++) {
                    f[i][(x+1)^(y+1)]+=f[j][x]*h[j]*f[i-j-1][y]*h[i-j-1];
                }
        for (int j=0;j<=127;j++) f[i][j]/=h[i];     //总概率/方案数 
    }

    for (int i=0;i<=127;i++) g[1][i]=f[a[1]][i];
    for (int i=2;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=127;j++)
            for (int k=0;k<=127;k++)
                g[i][j^k]+=g[i-1][j]*f[a[i]][k];

    printf("%.6lf\n",1.0-g[n][0]);
    return 0;
}