素数 学习笔记

一、素数的性质：

1.      合数必有素数因子。

2.      设p是素数且p|ab, 则必有p|a 或者 p|b.

3.      存在无穷多个素数

二、素数的分布

1.π(x)：估计小于一个正实数x的素数的个数

素数定理：随着x的增长，

推论：令p_n 是第n个素数，其中n是正整数，那么p_n ~nln n.

 

2．对于任意正整数n,存在至少n个连续的合数。

证明：考虑: (n+1)！=(n+1)*n*…*2*1

则(n+1)!+2,(n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1) 都是合数，它们分别是2,3,…,n+1的倍数。

三、素数的猜想

1. 伯特兰猜想

         伯特兰-切比雪夫定理说明：伯特兰—切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p，符合n < p < 2n − 2。另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n < p < 2n。

2.孪生素数猜想

         存在无穷多的形如p和p+2的素数对。

3.哥德巴赫猜想

每个大于2的正偶数可以写成两个素数的和。

4.      n²+1猜想

存在无穷多个形如n²+1的素数，其中n是正整数。