3930: [CQOI2015]选数|递推|数论

最新推荐文章于 2019-04-24 19:35:03 发布

ws_yzy

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分类专栏：数论 BZOJ刷题记录文章标签：递推

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本文介绍了一种算法，用于计算在指定区间内选取特定数量的整数，使得这些整数的最大公约数为预设值的方案总数。通过数学转换简化问题，并采用动态规划方法去除重复计数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目让求从区间 $[L,H]$ 中可重复的选出 $n$ 个数使其 $gcd=k$ 的方案数
转化一下也就是从区间 $[\lceil\frac{L}{k}\rceil,\lfloor\frac{H}{k}\rfloor]$ 中可重复的选出 $n$ 个数使其 $gcd=1$ 的方案数
然后 $f[i]$ 表示 $gcd=i$ 的方案数，考虑去掉所有的数都是重复的情况，这种情况最后在判断一下加上

f [i] = s u m - \sum i | j f [j]

$f[i]=sum-\sum_{i|j}f[j]$

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define mod 1000000007 //2 3 4679 35617
#define N 100051
using namespace std;
int sc()
{
    int i=0,f=1; char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')i=i*10+c-'0',c=getchar();
    return i*f;
}
long long f[N],n,k,a,b;
long long cal(ll x,ll y)
{
    long long res=1;
    for(;y;x=x*x%mod,y>>=1)
        if(y&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&a,&b);
    int l=a/k,r=b/k;
    if(a%k)l++;
    for(int i=b-a;i;i--)
    {
        int L=l/i,R=r/i;
        if(l%i)L++;
        if(l<=r)
        {
            f[i]=(cal(R-L+1,n)-(R-L+1))%mod;
            for(int j=i*2;j<=b-a;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j])%mod;
        }
    }
    if(l==1)f[1]++;
    printf("%d",(f[1]+mod)%mod);
    return 0;
}