最短路径之spfa算法

SPFA算法

简介

　　求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。

　　SPFA算法是西南交通大学 段凡丁 于1994年发表的.

　　从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。

　　很多时候，给定的图存在负权边，这时类似 Dijkstra 等算法便没有了用武之地，而 Bellman-Ford算法 的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

　　简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即 最短路径 一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

　　我们用 数组 d记录每个结点的最短路径估计值，而且用 邻接表 来存储图G。我们采取的方法是 松弛 ：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的 结点 v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至 队列 空为止。

原理

　　定理: 只要最短路径存在，上述 SPFA 算法必定能求出最小值。

　　证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

　　期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

　　实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空

　　判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环 ( 存在负环则无最短路径,如果有负环则会无限松弛,而一个带n个点的图至多松弛n-1次)

伪代码

　　SPFA实际上是Bellman-Ford基础上的优化

　　(这里的q数组表示的是节点是否在队列中，如q[v]=1则点v在队列中)

　　SPFA(G,w,s)　

　　1. INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

　　2. Q ← Ø

　　3. for each vertex ∈ V[G]

　　4. q[v]=0

　　5. ENQUEUE(Q,s)

　　6. q[s]=1

　　7. while Q≠Ø

　　8. dou ← DEQUEUE(Q)

　　9. q[u]=0

　　10.for each edge(u,v) ∈ E[G]

　　11. dot ← d[v]

　　12. RELAX(u,v,w)

　　13. π[v] ← u

　　14. if(d[v] < t) and

　　15. ENQUEUE(Q,v)

　　16. q[v]=1

C语言代码

　　#include<stdio.h>

　　#define maxint 2139062143

　　int a[101][101],dist[101],n;

　　void spfa(int s)

　　{

　　int q[101],v[101],h=0,t=1,x,i;//q为队列,v为Boolean数组,表示结点是否在队列中,h为头指针,t为尾指针

　　memset(q,0,sizeof(q));

　　memset(v,0,sizeof(v));

　　for(i=0;i<101;i++)//这里应该用for循环初始化，memset函数只能将值初始化为0或者-1。

　　dist[i] = INT_MAX;

　　dist[s]=0;

　　q[t]=s;v[s]=1;

　　while(h!=t)//本来是h<t,但这不是循环队列么,不能这么干的...

　　{

　　h=(h+1)%(n+1);//这里不能%n否则队满和队空状态一样

　　x=q[h];

　　v[x]=0;

　　for(i=1;i<=n;i++)

　　if(dist[i]-a[x][i]>dist[x])//这里本来为dist[i]>dist[x]+a[x][i],但这样会越界的,因为后两者加起来太大

　　{

　　dist[i]=dist[x]+a[x][i];

　　if(!v[i])

　　{

　　t=(t+1)%(n+1)/*同上*/;q[t]=i;v[i]=1;

　　}

　　}

　　}

　　}

　　int main()

　　{

　　int m,s,t,i;

　　scanf("%d%d",&n,&m);

　　scanf("%d%d",&s,&t);

　　memset(a,127,sizeof(a));

　　for(i=1;i<=m;i++)

　　{

　　int x,y,z;

　　scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

　　a[x][y]=z;

　　a[y][x]=z;

　　}

　　spfa(s);

　　printf("%d",dist[t]);

　　system("pause");

　　return 0;

　　}