Panasonic Programming Contest 2020 C (Sqrt Inequality) 题解

原创已于 2022-08-10 11:10:16 修改 · 7.6k 阅读

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#AtCoder #c++ #算法

于 2020-03-16 14:17:28 首次发布

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题目大意

输入三个整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，如果 $a+b<c\sqrt a + \sqrt b < \sqrt c$ 成立，输出Yes，否则输出No。

样例

输入 #1

2 3 9

输出 #1

No

$2+3<9\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 9$ 不成立。

输入 #2

2 3 10

输出 #2

Yes

$2+3<10\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 10$ 成立。

分析

错误思路

首先，由于系统sqrt函数的浮点数精度误差，下面这个代码明显会WA:

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
	int a, b, c;
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	double d = sqrt(double(a)) + sqrt(double(b));
	puts(d * d < c? "Yes": "No");
	return 0;
}

所以，这个题一定需要特殊思路！！！

正确思路

下面是正确方法的推导过程：
$a+b<c\sqrt a + \sqrt b < \sqrt c$
$(a+b)2<(c)2(\sqrt a + \sqrt b)^2 < (\sqrt c)^2$
$2\sqrt ab < c$
$2ab<c−a−b2\sqrt ab < c - a - b$
$(2ab)2<(c−a−b)2(2\sqrt ab)^2 < (c - a - b)^2$
$4ab < (c - a - b)^2$
注意：还有一种情况，就是 $c - a - b < 0$ 或 $c < a + b$ ，答案应该是No。这种情况不考虑到会WA，因为 $c - a - b)^2$ 会“直接忽略负数”！

代码

#include <cstdio>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
	long long a, b, c;
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c);
	long long d = c - a - b;
	if(d < 0) puts("No"); // 特殊情况c - a - b < 0直接输出No
	else puts((d * d > 4LL * a * b)? "Yes": "No");
	return 0;
}