贝叶斯定理

最新推荐文章于 2024-05-14 12:55:41 发布

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本文介绍了贝叶斯定理的基本原理，展示了如何通过已知概率P(B|A)计算未知概率P(A|B)，特别是在某个概率难以直接计算的情况下。此外，还详细解释了公式中归一化常数的作用及其简化计算的方法。

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贝叶斯定理的优势在于计算概率时可交换相关事件的次序，也就是说，可以通过P(B|A)的值间接地计算P(A|B)的值。尤其是当其中一个概率值很难直接计算时，可以利用另外一个概率值来计算未知的概率值。

$贝叶斯定理 - quanquan127@126 - 学无止境$

公式右边的的分母P(A)可以看做归一化常数，以保证期满足概率函数的性质。如果我们感觉兴趣的仅仅是事件发生的相对可能性，这时完全可以忽略这个分母，因为公式中的分母大小都是相同的。

$\mathop {\arg \max }\limits_B \frac{{P(A|B)P(B)}}{{P(A)}} = \mathop {\arg \max }\limits_B P(A|B)P({\rm{B}})$

但是，我们也可以通过下式计算分母的大小。

$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ $i \ne j$ $A \subseteq \mathop \cup \nolimits_{i = 1}^n {B_i},P(A) > 0$ $P(A) = \sum\limits_i {P(A|{B_i})} P({B_i})$

$P(A \cap \overline B ) = P(A|\overline B )P(\overline B )$

所以

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline B ) = P(A{\rm{|B}})P(B){\rm{ + }}P(A{\rm{|}}\overline B )P(\overline B )$ 【加法律】

其中，B和 $\overline B$ 将A集合分成两个不相交的非空的部分，分别对其计算条件概率，然后利用可加性的性质，得到以上结果。现在将其推广之，假设一组互不相交的集合 ${{\rm{B}}_{\rm{i}}}$ 对A进行划分，满足 $A \subseteq { \cup _{\rm{i}}}{B_i}$ ，则有：