CRC校验

最新推荐文章于 2022-03-13 10:28:52 发布

woshinia

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本文深入介绍了循环冗余校验（CRC）的基本概念及其在错误检测中的应用。CRC是一种散列函数，主要用于检测数据传输或存储过程中的错误。文章还探讨了CRC的实现细节、变体形式、错误检测能力及多项式规范。

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循环冗余校验（英语：Cyclic redundancy check，通称“CRC”）是一种根据网络数据数据包或计算机文件等数据产生简短固定位数校验码的一种散列函數，主要用来检测或校验数据传输或者保存后可能出现的错误。生成的数字在传输或者存储之前计算出来并且附加到数据后面，然后接收方进行检验确定数据是否发生变化。一般来说，循环冗余校验的值都是32位的整数。由于本函数易于用二进制的计算机硬件使用、容易进行数学分析并且尤其善于检测传输通道干扰引起的错误，因此获得广泛应用。它是由W. Wesley Peterson在他1961年发表的论文中披露^[1]。

简介[编辑]

CRC为校验和的一种，是两个字节数据流采用二进制除法（没有进位，使用XOR来代替减法）相除所得到的余数。其中被除数是需要计算校验和的信息数据流的二进制表示；除数是一个长度为 $(n+1)$ 的预定义（短）的二进制数，通常用多项式的系数来表示。在做除法之前，要在信息数据之后先加上 $n$ 个0.

CRCa 是基于有限域 GF(2) (即除以2的同余)的多项式环。简单的来说，就是所有系数都为0或1（又叫做二进制）的多项式系数的集合，并且集合对于所有的代数操作都是封闭的。例如：

$(x^3 + x) + (x + 1) = x^3 + 2x + 1 \equiv x^3 + 1$

2会变成0，因为对系数的加法运算都会再取2的模数. 乘法也是类似的：

$(x^2 + x)(x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \equiv x^3 + x$

我们同样可以对多项式作除法并且得到商和余数。例如，如果我们用x³ + x² + x除以x + 1。我们会得到：

$\frac{(x^3 + x^2 + x)}{(x+1)} = (x^2 + 1) - \frac{1}{(x+1)}$

也就是说，

$(x^3 + x^2 + x) = (x^2 + 1)(x + 1) - 1$

等价于：

$(x^2 + x + 1)x = (x^2 + 1)(x + 1) - 1$

这里除法得到了商x² + 1和余数-1，因为是奇数所以最后一位是1。

字符串中的每一位其实就对应了这样类型的多项式的系数。为了得到CRC, 我们首先将其乘以 $x^{n}$ ，这里 $n$ 是一个固定多项式的阶数, 然后再将其除以这个固定的多项式，余数的系数就是CRC。

在上面的等式中， $x^2+x+1$ 表示了本来的信息位是111, $x+1$ 是所谓的钥匙, 而余数 $1$ （也就是 $x^0$ ）就是CRC. key的最高次为1, 所以我们将原来的信息乘上 $x^1$ 来得到 $x^3 + x^2 + x$ ，也可视为原来的信息位补1个零成为1110。

一般来说，其形式为：

$M(x) \cdot x^{n} = Q(x) \cdot K(x) - R (x)$

这里 M(x) 是原始的信息多项式。K(x)是 $n$ 阶的“钥匙”多项式。 $M(x) \cdot x^{n}$ 表示了将原始信息后面加上 $n$ 个0。R(x)是余数多项式，即是CRC“校验和”。在通信中，发送者在原始的信息数据M后附加上 $n$ 位的R（替换本来附加的0）再发送。接收者收到M和R后，检查 $M(x) \cdot x^{n} + R(x)$ 是否能被 $K(x)$ 整除。如果是，那么接收者认为该信息是正确的。值得注意的是 $M(x) \cdot x^{n} + R(x)$ 就是发送者所想要发送的数据。这个串又叫做codeword.

CRCs 经常被叫做“校验和”, 但是这样的说法严格来说并不是准确的，因为技术上来说，校验“和”是通过加法来计算的，而不是CRC这里的除法。

“错误纠正编码”（Error–Correcting Codes，简称ECC）常常和CRCs紧密相关，其语序纠正在传输过程中所产生的错误。这些编码方式常常和数学原理紧密相关。（例如常见于通信或信息传递上BCH码、前向纠错、Error detection and correction等）

实现[编辑]

变体[编辑]

CRC 有几种不同的变体

shiftRegister 可以逆向使用，这样就需要检测最低位的值，每次向右移动一位。这就要求 polynomial 生成逆向的数据位结果。实际上这是最常用的一个变体。
可以先将数据最高位读到移位寄存器，也可以先读最低位。在通信协议中，为了保留 CRC 的突发错误检测特性，通常按照物理层发送数据位的方式计算 CRC。
为了检查 CRC，需要在全部的码字上进行 CRC 计算，而不是仅仅计算消息(Message)的 CRC 并把它与 CRC 比较。如果结果是 0，那么就通过这项检查。这是因为码字 $M(x) \cdot x^{n} + R(x) = Q(x) \cdot K(x)$ 可以被 $K(x)$ 整除。
移位寄存器可以初始化成 1 而不是 0。同样，在用算法处理之前，消息的最初 $n$ 个数据位要取反。这是因为未经修改的 CRC 无法区分只有起始 0 的个数不同的两条消息。而经过这样的取反过程，CRC 就可以正确地分辨这些消息了。
CRC 在附加到消息数据流(Message stream)的时候可以进行字节取反。这样，CRC 的检查可以用直接的方法计算消息的 CRC、取反、然后与消息数据流中的 CRC 比较这个过程来完成，也可以通过计算全部的消息来完成。在后一种方法中，正确消息的结果不再是 0，而是 $\sum_{i=n}^{2n-1} x^{i}$ 除以 $K(x)$ 得到的结果。这个结果叫作核验多项式 $C(x)$ ，它的十六进制表示也叫作幻数。

按照惯例，使用 CRC-32 多项式以及 CRC-16-CCITT 多项式时通常都要取反。CRC-32 的核验多项式是

。

对于要处理的数据M(x)有前置0时，用 $x^{m} L(x)$ 与 $M(x).x^{n}$ 两式相加作取反运算，使得前置的0变成1后，再作 mod 2 运算得到 CRC。公式：

$M(x) \cdot x^{n} + x^{m} L(x) = Q(x) \cdot K(x) + R(x)$
$L(x) \,\!$ $= \sum_{n=0}^{n-1} x^n$
$T(x) = M(x) \cdot x^{n} + L(x) + R(x)$
例： $M(x) = 01111$
$K(x) = x^{3} + x^{2} + 1 = 1101$ ，这里可知 $n=3$
$M(x).x^{3} = 01111000$
因 $\sum_{n=0}^{n-1} x^{n}$ ， $n=3$ 故 L(x) 阶数从 2 开始
$L(x) = x^{2} + x^{1} + x^{0} = 111$
用 $x^{m} L(x)$ 求得一组 n 个 1 及 m 个 0以便与 $M(x).x^{n}$ 相加
令 m = 5 ， $X^{m} L(x) = X^{3} L(x) = 11100000$ (bitwise shift)
$M(x).x^{n} + x^{m} L(x) = 01111000 + 11100000 = 10011000$ (使M前置的0变成1)
用 $10011000$ mod2 $K(x)$ 求得余R(x)= 011
$T(x) = M(x).x^{n} + L(x) + R(x) = 01111000 + 111 + 011 = 01111100$ 提交
接收端 L(x) = 111 且开头不为1 => m = 5
可反推 $M(x).x^{n} + x^{m} L(x) + R(x) = 01111000 + 11100000 + 111 = 10011011$
用 10011011 mod2 1101 可校验能被K(x)整除。

错误检测能力[编辑]

CRC 的错误检测能力依赖于关键多项式的阶次以及所使用的特定关键多项式。误码多项式 $E(x)$ 是接收到的消息码字与正确消息码字的异或结果。当且仅当误码多项式能够被 CRC 多项式整除的时候 CRC 算法无法检查到错误。

由于 CRC 的计算基于除法，任何多项式都无法检测出一组全为零的数据出现的错误或者前面丢失的零。但是，可以根据 CRC 的变体来解决这个问题。
所有只有一个数据位的错误都可以被至少有两个非零系数的任意多项式检测到。误码多项式是 $x^k$ ，并且 $x^k$ 只能被 $i \le k$ 的多项式 $x^i$ 整除。
CRC 可以检测出所有间隔距离小于多项式阶次的双位错误，在这种情况下的误码多项式是

。

如上所述， $x^k$ 不能被 CRC 多项式整除，它得到一个 $x^{i-k} + 1$ 项。根据定义，满足多项式整除 $x^{i-k} + 1$ 的 ${i-k}$ 最小值就是多项式的阶次。最高级次的多项式是本原多项式，带有二进制系数的 $n$ 阶多项式

CRC 多项式规范[编辑]

下面的表格略去了“初始值”、“反射值”以及“最终异或值”。

对于一些复杂的校验和来说这些十六进制数值是很重要的，如 CRC-32 以及 CRC-64。通常小于 CRC-16 的 CRC 不需要使用这些值。
通常可以通过改变这些值来得到各自不同的校验和，但是校验和算法机制并没有变化。

CRC 标准化问题

由于 CRC-12 有三种常用的形式，所以 CRC-12 的定义会有歧义
在应用的 CRC-8 的两种形式都有数学上的缺陷。
据称 CRC-16 与 CRC-32 至少有 10 种形式，但没有一种在数学上是最优的。
同样大小的 CCITT CRC 与 ITU CRC 不同，这个机构在不同时期定义了不同的校验和。

常用 CRC（按照 ITU-IEEE 规范）[编辑]

名称	多项式	表示法：正常或者翻转
CRC-1	$x + 1$ (用途：硬件，也称为奇偶校验位)	0x1 or 0x1 (0x1)
CRC-5-CCITT	$x^{5} + x^{3} + x + 1$ (ITU G.704 标准)	0xB (0x??)
CRC-5-USB	$x^{5} + x^{2} + 1$ (用途：USB 信令包)	0x5 or 0x14 (0x9)
CRC-7	$x^{7} + x^{3} + 1$ (用途：通信系统)	0x9 or 0x48 (0x11)
CRC-8-ATM	$x^8 + x^2 + x + 1$ (用途：ATM HEC)	0x7 or 0xE0 (0xC1)
CRC-8-CCITT	$x^8 + x^7 + x^3 + x^2 + 1$ (用途：1-Wire 总线)	0x8D
CRC-8-Dallas/Maxim	$x^8 + x^5 + x^4 + 1$ (用途：1-Wire bus)	0x31 or 0x8C
CRC-8	$x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 +1$	0xD5(0x??)
CRC-10	x¹⁰ + x⁹ + x⁵ + x⁴ + x + 1	0x233 (0x????)
CRC-12	$x^{12} + x^{11} + x^3 + x^2 + x + 1$ (用途：通信系统)	0x80F or 0xF01 (0xE03)
CRC-16-Fletcher	参见 Fletcher's checksum	用于 Adler-32 A & B CRC
CRC-16-CCITT	x¹⁶ + x¹² + x⁵ + 1 (X25, V.41, Bluetooth, PPP, IrDA)	0x1021 or 0x8408 (0x0811)
CRC-16-IBM	x¹⁶ +x¹⁵ + x² + 1	0x8005 or 0xA001 (0x4003)
CRC-16-BBS	x¹⁶ + x¹⁵ + x¹⁰ + x³ (用途：XMODEM 协议)	0x8408 (0x????)
CRC-32-Adler	See Adler-32	参见 Adler-32
CRC-32-MPEG2	See IEEE 802.3	参见 IEEE 802.3
CRC-32-IEEE 802.3	$x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1$	0x04C11DB7 or 0xEDB88320 (0xDB710641)
CRC-32C (Castagnoli)	$x^{32} + x^{28} + x^{27} + x^{26} + x^{25} + x^{23} + x^{22} + x^{20} + x^{19} + x^{18} + x^{14} + x^{13} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^6 + 1$	0x1EDC6F41 or 0x82F63B78 (0x05EC76F1)
CRC-64-ISO	$x^{64} + x^4 + x^3 + x + 1$ (use: ISO 3309)	0x000000000000001B or 0xD800000000000000 (0xB000000000000001)
CRC-64-ECMA-182	$x^{64} + x^{62} + x^{57} + x^{55} + x^{54} + x^{53} + x^{52} + x^{47} + x^{46} + x^{45} + x^{40} + x^{39} + x^{38} + x^{37} + x^{35} + x^{33} + x^{32}$ $+ x^{31} + x^{29} + x^{27} + x^{24} + x^{23} + x^{22} + x^{21} + x^{19} + x^{17} + x^{13} + x^{12} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^4 + x + 1$ (as described in ECMA-182 p.63)	0x42F0E1EBA9EA3693 or 0xC96C5795D7870F42 (0x92D8AF2BAF0E1E85)
CRC-128	IEEE-ITU 标准。被 MD5 & SHA-1 取代
CRC-160	IEEE-ITU 标准。被 MD5 & SHA-1 取代

CRC 与数据完整性[编辑]

尽管在错误检测中非常有用，CRC 并不能可靠地校验数据完整性（即数据没有发生任何变化），这是因为 CRC 多项式是线性结构，可以非常容易地故意改变量据而维持 CRC 不变，参见CRC and how to Reverse it中的证明。我们可以用 Message authentication code 校验数据完整性。