SOLDIERS(货舱选址)

最新推荐文章于 2025-11-25 00:04:22 发布

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#算法

该问题探讨了如何在平面上移动n个点，使得它们的横坐标相邻且纵坐标相等，从而达到最小化移动代价的目标。通过对点的横纵坐标分别进行排序和处理，应用货仓选址的策略，找到纵坐标和横坐标使得总移动距离最小的策略，即分别将货仓建在纵坐标中位数和横坐标转换后的中位数位置。

大意：

平面上有 n 个点，每个点都可以上下左右移动，要使这些点 横坐标相邻且纵坐标相等 ，问花费的最小代价是多少。

前置知识

已知一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 $A_1-A_n$ ，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小？
结论是把货舱建在 $An2+1A_{\frac{n}{2} +1}$ 的位置上

思路

横纵坐标分别考虑
对于纵坐标：
要使得所有的坐标纵坐标相等，即找一个位置使得所有的 $y_i$ 移动到这个位置所花费的总代价最小，这就是货舱选址的模型，由此纵坐标解决；
对于横坐标：
我们假设连续的横坐标的第一个位置为 $x_t$
那么 n 个位置依次是 $xt,xt+1…xt+nx_t , x_t+1\dots x_t+n$
那么由开始位置移动到 n 个位置的花费就是
$∣x1−xt∣+∣x2−xt−1∣+⋯+∣xn−xt−n+1∣|x_1 - x_t| + |x_2 - x_t - 1| + \dots +|x_n-x_t - n + 1|$
为了让这个值尽可能小，我们可以对 $x_1 - x_n$ 升序排序，这样让大的跟大的做差，小的跟小的做差，才可以使绝对值的和尽量小
那么怎么找 $x_t$ 呢？
转化式子
原式 = $∣x1−xt∣+∣(x2−1)−xt∣+⋯+∣(xn−n+1)−xt∣|x_1 - x_t| + |(x_2-1)- x_t | + \dots +|(x_n-n+1)-x_t|$
这就又变成了货舱选址的问题
对于转化后的 x 进行排序再次进行货舱选址操作即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
const int p = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

int n;
int x[N] , y[N];

int main(){

	IOS
	
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin >> x[i] >> y[i];
	sort(y+1,y+1+n);
	sort(x+1,x+1+n);
	ll ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i] -= (i-1);
	sort(x+1,x+1+n);//x 坐标完成转换后要再进行一次排序 ， 因为这时候转化后的大小已经不满足升序了
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans += abs(y[i] - y[n/2+1]);
		ans += abs(x[i] - x[n/2+1]);
	}
	
	cout << ans ;
	



	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);