拉格朗日插值原理讲解及代码实现

最新推荐文章于 2025-03-02 19:58:31 发布

woor_

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分类专栏：插值文章标签： python matlab 算法

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本文介绍了拉格朗日插值原理，详细讲解了拉格朗日基函数和插值余项，并给出了一个例题。通过Python和MATLAB代码实现，展示了如何计算拉格朗日插值多项式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

拉格朗日插值原理

已知 $X=\left [ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n} \right ]$ ，以及X对应的 $Y=\left [ y_{0} ,y_{1},\cdots ,y_{n}\right ]$ 通过公式

$l_{i}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{i}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i+1}\right) \cdots\left(x_{i}-x_{n}\right)}\label{(1.1)}$

得到若干个基函数，再将每个基函数乘以对应的 $y_{i}$ 后相加

$L_{n}\left ( x \right )=\sum_{i=0}^{n}y_{i}l_{i}\left ( x \right )$

从上式可以看出，当 $x=x_{i}$ 时， $l_{i}\left ( x \right )=1$ ；而当 $x=x_{0},\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{n}$ 时， $l_{i}\left ( x \right )=0$

即满足条件

$l_{i}\left ( x_{j} \right )=\left\{\begin{matrix} 1,j=i\\ 0,j\neq i \end{matrix}\right.i,j=0,1,\cdots ,n$

最终可以得到下式，可以看出，该多项式函数必然通过所有的节点，而这也是所有插值函数的一个特点

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