完全二叉树输出最后一个节点

输入一个完全二叉树,通过遍历找出最后一个节点的值。算法思路是先确定树的高度,然后从根节点的右子树开始,依次判断节点条件,直到找到末尾节点。

一,问题描述

1, 输入一个完全二叉树,求出最后一个节点值。

2, 例如:  输入: 

 

输出:  5

3, 算法思想:首先遍历完全二叉树的左分支,求出完全二叉树的高度depth,  然后对于每个子树的根节点,先从根节点的右孩子开始,然后从此节点遍历该节点的左孩子,等遍历完成后,进行判断此时临时高度等于二叉树的高度,且节点无右孩子时候,则输出该节点,否则右侧还有节点,则遍历右子树,若临时高度小于二叉树的高度,则遍历根节点的左孩子。

 

二, 程序

1, python实现

class TreeNode(object):

    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

class Solution(object):

    def printlastnode(self, root):
        if not root:
            return None

        depth = 0
        tmp = root
        # 首先先计算二叉树的高度
        while tmp:
            depth += 1
            tmp = tmp.left

        level = 0
        tempdepth = 0

        # 遍历二叉树
        while root:
            level += 1
            if level == depth:
                break

            c
<think>我们正在讨论完全二叉树的最小节点数问题。根据引用[1]和引用[2]:-引用[1]指出:深度为k的完全二叉树,至少有$2^{k-1}$个叶子结点(注意:这里可能是笔误,通常我们讨论的是节点总数,而不是叶子节点数)。但更关键的是,它提到“深度为k的完全二叉树,至少有$2^{k-1}$个叶子结点,至多有$2^k-1$个结点”。然而,对于最小节点数,我们通常关注的是节点总数,而不是叶子节点。-引用[2]中给出了完全二叉树的定义,并提供了一个问题:一棵完全二叉树的第7层(根节点为第0层)有12个叶子节点,求整棵树最多和最少节点数。这个问题提示我们,完全二叉树的最小节点数取决于其结构。实际上,对于深度为K的完全二叉树,其最小节点数发生在第K-1层(即倒数第二层)只有最左边的节点有左孩子,而其他节点都没有孩子的情况下。也就是说,除了最后一层,前面的层都是满的,而最后一层只有最左边一个节点。根据完全二叉树的定义,深度为K的完全二叉树,前K-1层是满的(因为满二叉树的深度为K-1时,节点数为$2^{K-1}-1$),然后在第K层(最后一层)至少有一个节点(位于最左边)。因此,最小节点数为:$$(2^{K-1}-1)+1=2^{K-1}$$验证:-当K=1(只有根节点):最小节点数=1,而$2^{0}=1$,符合。-当K=2:根节点和左孩子,共2个节点,而$2^{1}=2$,符合。-当K=3:前两层满(共3个节点),第三层至少1个节点(位于最左边),总节点数4,而$2^{2}=4$,符合。因此,深度为K的完全二叉树最少有$2^{K-1}$个节点。注意:引用[1]中提到的“深度为k的完全二叉树,至少有$2^{k-1}$个叶子结点”,这里我们讨论的是节点总数,所以不需要关注叶子节点数。另外,引用[3]中提供了一个计算完全二叉树节点数的递归方法,它利用了完全二叉树可以分解为满二叉树的性质。但这里我们只需要最小节点数,所以可以直接用公式。结论:深度为K的完全二叉树最少有$2^{K-1}$个节点。引用说明:[^1]中提到了深度为k的完全二叉树节点数范围(至多$2^k-1$,至少?),但未明确最小节点数的公式。我们通过推导得到最小节点数为$2^{K-1}$。[^2]中完全二叉树的定义帮助我们理解结构。因此,回答如下:</think>### 深度为 K 的完全二叉树的最小节点数量 #### 核心结论 深度为 $K$(根节点深度为 0)的完全二叉树**最少**有 $2^K$ 个节点。 数学表达式: $$ \text{最小节点数} = 2^K $$ #### 推导过程 1. **完全二叉树的结构特性** - 前 $K-1$ 层必须是满二叉树节点数达到最大值) - 第 $K$ 层(最后一层)**至少要有 1 个节点**(位于最左侧位置) 2. **前 $K-1$ 层的节点数** 深度为 $K-1$ 的满二叉树节点数为: $$ \sum_{i=0}^{K-1} 2^i = 2^K - 1 $$ > *证明*:等比数列求和公式 $S_n = a \frac{q^n-1}{q-1}$,其中 $a=1, q=2$[^1] 3. **最后一层的最小节点数** 根据完全二叉树定义,最后一层至少需要 **1 个节点**(否则会退化为深度 $K-1$ 的树)[^2]。 4. **最小节点总数计算** $$ \text{最小节点数} = (前 K-1 层节点数) + (最后一层最小节点数) = (2^K - 1) + 1 = 2^K $$ #### 示例验证 | 深度 $K$ | 最小节点数 $2^K$ | 树结构示意图 | |----------|------------------|----------------------| | $K=0$ | $2^0=1$ | [根节点] | | $K=1$ | $2^1=2$ | 根节点 + 左子节点 | | $K=2$ | $2^2=4$ | 前两层满 + 第三层左1 | | $K=3$ | $2^3=8$ | 前三层满 + 第四层左1 | ```mermaid graph TD %% K=2 的最小完全二叉树 (4节点) A((根)) --> B((左)) A --> C((右)) B --> D((左孙)) ``` #### 对比最大节点数 深度为 $K$ 的完全二叉树**最多**有 $2^{K+1}-1$ 个节点(满二叉树)[^1]。 最小与最大节点数关系: $$ 2^K \leq \text{实际节点数} \leq 2^{K+1}-1 $$ #### 编程实现 可通过递归判断子树是否为满二叉树快速计算节点数[^3]: ```javascript function minNodesByDepth(K) { return Math.pow(2, K); // 直接返回 2^K } // 示例:深度 K=4 的最小节点数 console.log(minNodesByDepth(4)); // 输出 16 ``` #### 为什么是这个值? 关键点在于完全二叉树的定义要求: 1. 除最后一层外,所有层必须完全填充 2. 最后一层节点必须**从左向右连续排列** 因此最小配置是最后一层**仅有最左侧 1 个节点**,此时总节点数最小[^2]。 --- ### 相关问题 1. 深度为 $K$ 的完全二叉树最多有多少个节点? 2. 如何证明完全二叉树最后一层的最左侧节点必须存在? 3. 在编程中如何高效判断一棵树是否为完全二叉树? 4. 深度为 $K$ 的平衡二叉树最少需要多少个节点?[^4]
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