图论初步——存图方式

图的定义

图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形

图的例子

存图方式

邻接矩阵

优点：简单好写，实现不易出错
缺点：空间复杂度高，达到了$O(n^2)$的复杂度，不适用于大部分题

建图代码实现

memset(edge,127,sizeof(edge));  //赋极大值
for(int i=1;i<=m;i++){ //m为边数  
    cin>>x>>y>>w;  //x到y有一条权值为w的边  
    edge[x][y]=edge[y][x]=w; //存边
}	

查找代码实现

for(int i=1;i<=n;i++){   
    for(int j=1;j<=n;j++){
	if(edge[i][j]<=INF)
	  cout<<i<<"->"<<j<<": "<<w<<endl  
    }
}	

邻接表

优点：空间小，代码简单，时间较优
缺点：不好理解

建图代码实现

void Add(int x,int y,int z){
    nxt[++tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    to[tot]=y;
    w[tot]=z;
}

解释

$tot$为边的编号
以上图$3$号点为例
先连边$(3,1,6)$
所以$nxt[1]=first[3]=0$; //边$1$的下一条边为$0$，即不存在
$first[3]=1$； //以$3$为端点的第一条边为$1$
$to[1]=1$; //第$1$条边的另一个端点为$1$
$w[1]=6$; //第$1$条边的长度为$6$
再连边$(3,2,3)$
所以$nxt[2]=first[3]=1$; //边$2$的下一条边为边$1$
$first[3]=2$;
$to[2]=2$;
$w[2]=3$;
然后连$(3,4,1)$
$nxt[3]=first[3]=2$;//边$3$的下一条边为边$2$
…

查找代码实现

for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
    int v=to[e];
    cout<<u<<"->"<<v<<": "<<w[e]<<endl;
}

解释

查找点$3$时
$first[3]=4;to[4]=6;$
$nxt[4]=3;to[3]=4;$
$nxt[3]=2;to[2]=2;$
$nxt[2]=1;to[1]=1;$
$nxt[1]=0;$
不满足$e$为真，跳出循环