求质数算法----层层递进的N种算法

题目1：给出一个正整数n，打印出所有从1~n的素数(即质数);

题目2：给出一个正整数n，打印出自然数中最小的n个素数(即质数);

先讨论问题1.

普通解法

• 傻瓜法

对于每个数m，逐个去除以小于它的数，看是否只有1能够整除。

• 优化

对于每个数m，逐个去除以小于等于sqrt(m)的数，看是否只有1能够整除。

• 进一步优化

对于每个数m，其实只需要对小于m的已经求出来的质数进行试除，直到sqrt(m)即可。因为如果不能被质数整除，一定也不能被合数整除。

筛法

首先，2是公认最小的质数，所以，先把所有2的倍数去掉；然后剩下的那些大于2的数里面，最小的是3，所以3也是质数；然后把所有3的倍数都去掉，剩下的那些大于3的数里面，最小的是5，所以5也是质数......上述过程不断重复，就可以把某个范围内的合数全都除去（就像被筛子筛掉一样），剩下的就是质数了。

• 朴素筛法（埃氏筛法）

实现方法：用一个长度为N+1的数组保存信息（0表示素数，1表示非素数），先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数。