集合论基础-优快云博客

集合

简单说一下集合的概念，集合包含一组可区分的对象，称为成员或元素。如果一个对象x是对象S的一个成员，记为 $x∈Sx\in{S}$ 。如果x不是S的成员，则记为 $x∉Sx\notin{S}$ 。通过在一对大括号中显式列出集合的所有成员的方式描述一个集合，例如通过 $S = \{1,2,3\}$ 定义一个包含成员1，2，3的集合。如果两个集合A和B包含相同的成员，则称A,B相等（忽略顺序和重复元素）。
常用集合有几种

$∅\empty$ 表示空集
$Z\Z$ 表示整数集
$R\R$ 表示实数集
$N\N$ 表示自然数集

如果集合A的所有元素都在集合B中，即如果 $x∈Ax\in{A}$ 就有 $x∈Bx\in{B}$ ，则可以记为 $A⊆BA\subseteq{B}$ ，集合A是集合B的一个子集。当且仅当 $A⊆BA\subseteq{B}$ 且 $B⊆AB\subseteq{A}$ 时，有A=B。对于任意三个集合A,B,C，如果 $A⊆BA\subseteq{B}$ 且 $B⊆CB\subseteq{C}$ ，则 $A⊆CA\subseteq{C}$ 。对于任意集合A，有 $∅⊆A\empty\subseteq{A}$ 。

集合操作服从下列定律：
空集律
$A\bigcap{\empty} = \empty \\ A\bigcup{\empty} = A$
幂等律
$A\bigcap{A} = A \\ A\bigcup{A} = A$
交换律
$A\bigcap{B} = B\bigcap{A} \\ A\bigcup{B} = B\bigcup{A}$
结合律
$A\bigcap({B}\bigcap{C}) = (A\bigcap{B})\bigcap{C} \\ A\bigcup({B}\bigcup{C}) = (A\bigcup{B})\bigcup{C}$
分配律
$A\bigcap({B}\bigcup{C}) = (A\bigcap{B})\bigcup(A\bigcap{C}) \\ A\bigcup({B}\bigcap{C}) = (A\bigcup{B})\bigcap(A\bigcup{C})$
吸收律
$A\bigcap({A}\bigcup{B}) = A \\ A\bigcup({A}\bigcap{B}) = A$
德·摩根律
$A-({B}\bigcap{C}) = (A-B)\bigcup(A-C) \\ A-({B}\bigcup{C}) = (A-B)\bigcap(A-C)$

通常，所有被考虑的集合都是一个全域U的子集，例如，当考虑各种仅有整数组成的集合时，集合Z就是个合适的全域。给定一个全集U，可以定义A的补集为 $Aˉ=U−A\bar{A} = U - A$ ，对于任何集合 $A⊆UA\subseteq{U}$ ，有以下定律：
$\bar{\bar{A}} = A \\ A\bigcap{\bar{A}} = \empty \\ A\bigcup{\bar{A}} = U$
德·摩根律可以补集形式表示。对任意两个集合 $B,C⊆UB,C\subseteq{U}$ ，有
$\overline{B\bigcap{C}} = \bar{B}\bigcup{\bar{C}} \\ \overline{B\bigcup{C}} = \bar{B}\bigcap{\bar{C}}$
如果集合A和B没有公共的元素，即 $A⋂B=∅A\bigcap{B} = \empty$ ，则称两者不相交。如果一个非空集合 $δ={Si}\delta = \{S_i\}$ 满足条件

集合两两不相交，即对 $Si，Sj∈δS_i，S_j\in{\delta}$ ，如果 $\neq{j}$ ，则 $Si⋂Sj=∅S_i\bigcap{S_j} = \empty$
他们的并集是S，即
$\bigcup\limits_{S_i\in\delta}S_i$
则称集合 $δ\delta$ 是集合S的一个划分。换句话说，如果S中的每个元素仅出现在一个 $Si∈δS_i\in{\delta}$ ，则称 $δ\delta$ 为集合S的一个划分。
集合中元素的个数称为j集合的势，记为 $∣S∣\left|S\right|$ 。如果两个集合的元素可以形成一一对应，则称两个集合有相同的势。空集的势为0。如果一个集合的势是自然数，则称集合是有限的，反之，他是无限的。如果一个无限集合可以跟自然数集合N形成一一对应，则称其为可数无限；反之，则称其为不可数。整数集Z是可数的，而实数集R是不可数的。
一个具有n个元素的有限集合常被称为n维集。一个一维集也成为单元集。一个集合的k个元素的子集称为k子集。
集合S的所有子集的集合，包括空集和S本身表示为 $2^S$ ，称为S的幂集。例如 $2{a,b}={∅,{a},{b},{a,b}}2^{\{a,b\}} = \{\empty,\{a\},\{b\},\{a,b\} \}$ 。有限集S的幂集的势是 $2∣S∣2^{\left|S\right|}$ 。
可以使用组合证明，先找有0个元素的子集，再找有1个元素的子集……最后找有n个元素的子集，他们的个数分别是 $∑k=0n(nk)\sum\limits_{k=0}^{n}{ n \choose k}$ ,恰好是 $2^n$ 。