最大连续子数组

寻找最大子数组和的高效算法

最新推荐文章于 2021-05-21 18:15:57 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-21 18:15:57 发布 · 955 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

初级算法杂谈专栏收录该内容

14 篇文章

订阅专栏

本文介绍并解析了三种用于寻找具有最大和的连续子数组的算法，包括基本轮询、去除多余求和及统计学家提出的最优解。重点讨论了如何优化时间复杂度至O(n)，并提供了相应的代码实现。

题目：
输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。
例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，
因此输出为该子数组的和18。

解法一：最基本的轮询

思路：

找出所有的连续子数组，求和，比较。算法复杂度o(n^3)

代码：

/*
最基本的轮询
*/
int maxSubarray(int *a)
{
    int len = a.length;
    int sum;
    int max = (1 << 31);
    //两个外层循环确定子数组头和尾，然后求和
    for(int head = 0; head < len; ++head)
    {
        for(int tail = head; tail < len; ++tail)
        {
            sum = 0;
            for(int i = head; i <= tail; ++i) sum += a[i];
            if(max < sum) max = sum;
        }
    }
    return max;
}

解法二：去除多余的求和

思路：

sum[i,j] = sum[i, j-1] + sum[j]。算法复杂度o(n^2)

代码：

/*
去除中间多余的求和
简单的轮询有个明显的缺点：以第一个节点为头的子数组有a.length个；同时计算a[0] + a[1]的次数是a.length-1次；
因为
a[0]
a[0] + a[1]
a[0] + a[1] + a[2]
……
其实可以这样
a[0] = x
a[0] + a[1] = x + a[1] = y
a[0] + a[1] + a[2] = y + a[2]
……
*/
int maxSubarray(int *a)
{
    int len = a.length;
    int sum;
    int max = (1 << 31);
    //两个外层循环确定子数组头和尾，然后求和
    for(int head = 0; head < len; ++head)
    {
        sum = 0;
        for(int tail = head; tail < len; ++tail)
        {
            sum += a[tail];
            if(max < sum) max = sum;
        }
    }
    return max;
}

解法三：专家给出的最优解

思路：

这种方法的证明是个难点。

代码：

/*
统计学家提出的最优解
*/
int maxSubarray(int *a)
{
    int len = a.length;
    int sum = 0;
    int max = (1 << 31);
    for(int i = 0; i < len; ++i)
    {
        sum += a[i];
        if(max < sum) max = sum;
        if(sum < 0) sum = 0;
    }
    return max;
}